_____________________________________________________
Το θεώρημα της πίτσας
ΤΟΥ STEPHEN ORNES
Για τους περισσότερους το μεσημεριανό γεύμα με έναν συνάδελφο είναι μια χαλαρή υπόθεση όπου οι προβληματισμοί εξαντλούνται στο ποιο πιάτο θα διαλέξουν και αν θα πάρουν γλυκό. Για τον Ρικ Μέιμπρι και τον Πολ Ντάιερμαν όμως το ζήτημα δεν ήταν ποτέ τόσο απλό. Τους είναι αδύνατον, για παράδειγμα, να δουν στο τραπέζι τους μια πίτσα χωρίς να προσπαθήσουν να βρουν τη λύση στο μαθηματικό πρόβλημα του πώς να τη μοιράσουν. «Τρώγαμε μαζί τουλάχιστον μία φορά την εβδομάδα» λέει ο κ. Μέιμπρι αναφερόμενος στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν οι δύο μαθηματικοί εργάζονταν στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Λουϊζιάνας. «Ο ένας από τους δυο μας έφερνε ένα τετράδιο και αρχίζαμε να κάνουμε σχεδιαγράμματα αφήνοντας το φαγητό μας να κρυώνει».
Η σπαζοκεφαλιά
Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν το εξής: ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους. Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως δύο άτομα που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο;
Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να λύνει κάθε φορά το συγκεκριμένο πρόβλημα υπολογίζοντας την επιφάνεια κάθε κομματιού και προσθέτοντας τα κομμάτια του καθενός μεταξύ τους. Οι δύο ερευνητές είναι όμως μαθηματικοί και δεν αρκούνται σε τέτοιου είδους λύσεις: ήθελαν μια θεωρητική κατασκευή χωρίς ακριβείς υπολογισμούς, έναν κανόνα που θα ισχύει πάντοτε και θα μπορεί να εφαρμόζεται για κάθε στρογγυλή πίτσα.
Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να λύνει κάθε φορά το συγκεκριμένο πρόβλημα υπολογίζοντας την επιφάνεια κάθε κομματιού και προσθέτοντας τα κομμάτια του καθενός μεταξύ τους. Οι δύο ερευνητές είναι όμως μαθηματικοί και δεν αρκούνται σε τέτοιου είδους λύσεις: ήθελαν μια θεωρητική κατασκευή χωρίς ακριβείς υπολογισμούς, έναν κανόνα που θα ισχύει πάντοτε και θα μπορεί να εφαρμόζεται για κάθε στρογγυλή πίτσα.
Όπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια- για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος. Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας: ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές.
Η ευκολία των ζυγών
Τι γίνεται όμως όταν καμία τομή δεν περνάει από το κέντρο; Αν η πίτσα κόβεται μία φορά, η απάντηση είναι προφανής με το μάτι: όποιος τρώει το κέντρο τρώει περισσότερο. Αν γίνουν δύο τομές, που δίνουν τέσσερα κομμάτια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: όποιος φάει το κομμάτι που περιλαμβάνει το κέντρο τρώει περισσότερη πίτσα. Όσο όμως οι τομές αυξάνονται, παρουσιάζονται διάφορες ανωμαλίες και η λύση τους οδήγησε, με τον χρόνο, στον σχηματισμό των τριών γενικών κανόνων που απαρτίζουν το θεώρημα της πίτσας.
Ο πρώτος ορίζει ότι αν η πίτσα κοπεί σε ένα δεδομένο σημείο με ζυγό αριθμό τομών μεγαλύτερο του 2, θα μοιραστεί ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια. Προτάθηκε για πρώτη φορά για 4 τομές (8 κομμάτια) από κάποιον Λ. Τζ. Απτον το 1967 στο περιοδικό «Μathematics Μagazine», ενώ η λύση που όριζε ότι η πίτσα μοιράζεται ίσα για οποιονδήποτε αριθμό ζυγών τομών ήλθε έναν χρόνο αργότερα ως απάντηση στην «πρόκληση» του Απτον.
Ο σκόπελος των μονών
Με τους μονούς αριθμούς τομών όμως τα πράγματα περιπλέκονται.
Εδώ το θεώρημα της πίτσας λέει ότι αν κόψει κανείς την πίτσα με 3, 7, 11, 15... τομές χωρίς καμία τομή να περνάει από το κέντρο της, τότε αυτός που θα πάρει το κομμάτι που περιέχει το κέντρο της πίτσας θα φάει συνολικά περισσότερο. Αν όμως οι τομές είναι 5, 9, 13, 17... αυτός που θα πάρει το κομμάτι με το κέντρο καταλήγει να τρώει λιγότερο.
Το θεώρημα ισχύει αν κάνει κανείς τους υπολογισμούς, απέβη όμως εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί από τους μαθηματικούς. Τόσο δύσκολο ώστε οι κκ. Μέιμπρι και Ντάιερμαν μόλις τώρα κατόρθωσαν να ολοκληρώσουν μια απόδειξη η οποία καλύπτει όλες τις πιθανές περιπτώσεις.
Η προσπάθειά τους ξεκίνησε το 1994, όταν ο κ. Ντάιερμαν έδειξε στον κ. Μέιμπρι μια διορθωμένη εκδοχή του θεωρήματος της πίτσας που επανεμφανίστηκε στο «Μathematics Μagazine» προκαλώντας τους αναγνώστες να αποδείξουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις του προβλήματος, αυτή στην οποία η πίτσα κόβεται με 3 τομές και αυτή στην οποία κόβεται με 5.
Η «άσχημη» λύση
Ο κ. Ντάιερμαν έλυσε γρήγορα το πρόβλημα των 3 τομών, το οποίο οι συγγραφείς του άρθρου είχαν λύσει αλλά δεν αποκάλυπταν στο δημοσίευμα. Στη συνέχεια οι δύο συνεργάτες βρήκαν τη λύση για τις περιπτώσεις των 5 και των 7 τομών (οι οποίες έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα με τις 3). Ενθουσιασμένοι με την επιτυχία τους, θεώρησαν ότι είχαν βρει την τεχνική που θα έλυνε πλήρως το πρόβλημα. Σε ένα μονό αριθμό τομών, τα αντιδιαμετρικά αντίθετα κομμάτια πηγαίνουν σε διαφορετικούς συνδαιτυμόνες, οπότε συγκρίνοντας κανείς τα μεγέθη τους μπορεί να βρει, για αυτά τα δύο, ποιος παίρνει περισσότερο και πόσο και στη συνέχεια να περάσει στο επόμενο αντιδιαμετρικά αντίθετο «ζευγάρι».
Παρ΄ ότι ακούγεται απλό, στην πράξη αποδείχθηκε σχεδόν αδύνατον να βρεθεί μια λύση που να καλύπτει όλους τους πιθανούς μονούς αριθμούς τομών. Οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποίησαν ένα γεωμετρικό τέχνασμα για να απλοποιήσουν τη διαδικασία, εισάγοντας ένα παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από κάθε τομή και μια παράλληλή της γραμμή η οποία περνάει από το κέντρο της πίτσας. Και πάλι όμως η λύση δεν ήταν ικανοποιητική εφόσον απαιτούσε πολύπλοκους υπολογισμούς. Ήταν, όπως λένε, «άσχημη» .
Ο παράγων «καθαρός αέρας»
Στα χρόνια που ακολούθησαν, ασχολήθηκαν κατά καιρούς και πάλι με το πρόβλημα, χωρίς όμως περαιτέρω επιτυχία. Η «φώτιση» ήρθε το 2006, όταν ο κ. Μέιμπρι βρισκόταν για διακοπές στη Γερμανία. «Ήμουν σε ένα ωραίο ξενοδοχείο, με ευχάριστο, δροσερό περιβάλλον και χωρίς κομπιούτερ» λέει.«Άρχισα να σκέφτομαι ξανά το πρόβλημα και τότε όλα άρχισαν να λειτουργούν». Ως τότε οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μοντέλα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τα αποτελέσματά τους. Μόλις όμως ο κ. Μέιμπρι άφησε την τεχνολογία στην άκρη, μπόρεσε να δει το πρόβλημα καθαρά. Επιστρέφοντας έβαλε ξανά τον υπολογιστή να δουλέψει για να βρει όλες τις πληροφορίες που χρειάζονταν για να προχωρήσει τις σκέψεις του και τελικά όλα μπήκαν στη θέση τους. Η απόδειξη του θεωρήματος της πίτσας βρέθηκε, λοιπόν, επιτέλους και έχει δημοσιευθεί στην επιθεώρηση Αmerican Μathematical Μonthly (Μάιος 2009). Ποιες πρακτικές εφαρμογές μπορεί να έχει; Προς το παρόν δεν διαφαίνεται καμία, αυτό όμως δεν ανησυχεί τον κ. Μέιμπρι. «Το παράξενο με εμάς τους μαθηματικούς» λέει «είναι ότι συχνά δεν μας ενδιαφέρει αν τα αποτελέσματα έχουν εφαρμογές γιατί τα ίδια τα αποτελέσματα είναι τόσο όμορφα». Πολλές φορές ωστόσο η χρησιμότητα των λύσεων τέτοιου είδους αφηρημένων μαθηματικών προβλημάτων εμφανίζεται με απρόσμενους τρόπους: ένα ξεχασμένο μαθηματικό παράδοξο του 19ου αιώνα για ένα μορφοκλασματικό είδος καμπύλης επανήλθε στο προσκήνιο ως μοντέλο για το σχήμα του ανθρώπινου γονιδιώματος.
© 2009 Νew Scientist Μagazine, Reed Βusiness Ιnformation Ltd. ΤΟ ΒΗΜΑ, 17/1/2010
Τα κανόνια του Αρχιμήδη
Ιταλός επιστήµονας ισχυρίζεται ότι έλυσε το µυστήριο του τρόπου µε τον οποίο ο Αρχιµήδης χρησιµοποίησε τις ακτίνες του ήλιου προκειµένου να καταστρέψει τον ρωµαϊκό στόλο κατά την πολιορκία των Συρακουσών.
Ο καθηγητής Μηχανολογίας Τσέζαρε Ρόσι του Πανεπιστηµίου Federico ΙΙ της Νάπολης υποστηρίζει ότι ο Αρχιµήδης δεν χρησιµοποίησε κάτοπτρα για να εκµεταλλευτεί τις «φονικές ακτίνες» του ήλιου ώστε να πυρπολήσει τα ρωµαϊκά πλοία τον 3ο π.Χ. αιώνα, όπως αναφέρει ο θρύλος, αλλά απώθησε τους εισβολείς χρησιµοποιώντας... κανόνια ατµού.
Σε µελέτη του µε τίτλο «Τα κανόνια του Αρχιµήδη εναντίον του ρωµαϊκού στόλου;» ο Ρόσι αναπτύσσει τη θεωρία του: ο Αρχιµήδης, ένας από τους σηµαντικότερους µαθηµατικούς, µηχανικούς και φυσικούς της αρχαίας Ελλάδας, αντί να στρέψει µέσω των κατόπτρων το φως του ήλιου στα κινούµενα πλοία, είναι πιθανό να χρησιµοποίησε καθρέφτες προκειµένου να ζεστάνει νερό που βρισκόταν σε ειδικές δεξαµενές. Το νερό έβραζε και ο παγιδευµένος ατµός προκαλούσε την έκρηξη του όπλου, στέλνοντας «οβίδες» στους Ρωµαίους – 1.500 χρόνια πριν γίνει γνωστή στην Ευρώπη η πυρίτιδα – και µάλιστα µε ταχύτητα άνω των 200 χλµ. ανά ώρα και βεληνεκές περίπου 150 µέτρα.
Ο Ρόσι πιστεύει ότι οι «οβίδες» ήταν πήλινες και περιείχαν «υγρό πυρ», µια µάζα από εύφλεκτα υλικά. Ετσι, η βολή προκαλούσε εκρήξεις και τελικά πυρπόληση των στόχων.
Η πολιορκία των Συρακουσών έγινε το 214 π.Χ., όταν η πόλη ανήκε ακόµα στην Ελλάδα. Η πόλη καταλήφθηκε έπειτα από 2 χρόνια και ο Αρχιµήδης δολοφονήθηκε. Σύµφωνα µε την παράδοση, κατά την κατάληψη της πόλης, έπειτα από προδοσία, ένας ρωµαίος στρατιώτης σκότωσε τον έλληνα επιστήµονα ενώ αυτός ήταν απασχοληµένος µε κάποιο γεωµετρικό πρόβληµα. «Μη µου τους κύκλους τάραττε», πρόλαβε να του πει ο Αρχιµήδης.
Η αντιµετώπιση των Ρωµαίων µε κάτοπτρα αποτελεί στην πραγµατικότητα έναν θρύλο των µεσαιωνικών χρόνων. Από τις αρχαίες πηγές, ο φυσικός και φιλόσοφος Γαληνός αναφέρει µια συσκευή πυρπόλησης που χρησιµοποιήθηκε εναντίον του ρωµαϊκού στόλου, η λεπτοµέρεια όµως µε τα κάτοπτρα απουσιάζει, όπως και σε όλη την αρχαία γραµµατεία.
Αντίθετα, ο Πλούταρχος κάνει αναφορά σε µια µακρόστενη µηχανή που ανάγκασε τους Ρωµαίους να εγκαταλείψουν την πολιορκία των Συρακουσών, ενώ άλλοι συγγραφείς αναφέρουν ένα κανόνι ατµού. Πολλούς αιώνες αργότερα, ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι σχεδίασε ένα παρόµοιο κανόνι χαρακτηρίζοντάς το ως επινόηση του µεγάλου αρχαίου µαθηµατικού. Ετσι, είναι πολύ πιθανό τα κάτοπτρα του θρύλου να ήταν στην πραγµατικότητα κανόνια ατµού.
ΔΗΜΟΣΙΕΥΘΗΚΕ: ΤΑ ΝΕΑ, Δευτέρα 19 Ιουλίου 2010
______________________________
Νέο ρεκόρ στην εύρεση ψηφίων του π
Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
Ο «Ικαροµένιππος», ο εκπαιδευτικός δορυφόρος που κατασκεύασαν µαθητές στη Μυτιλήνη, διακρίθηκε στο 8ο Πανευρωπαϊκό Φόρουµ Πρωτοπόρων Εκπαιδευτικών της Microsoft, το οποίο πραγµατοποιήθηκε την περασµένη βδοµάδα στη Μόσχα, και ύψωσε την ελληνική σηµαία στις πρώτες θέσεις του διαγωνισµού. Ένα ολόκληρο καλοκαίρι χρειάστηκε να δουλεύουν εντατικά οι 10 µμαθητές του 3ου Λυκείου της Μυτιλήνης μαζί µε τον καθηγητή Φυσικής Γιώργο Κοντέλλη, για να μπορέσουν να κατασκευάσουν το δικό τους δορυφόρο, πιστό αντίγραφο ενός κανονικού, µιας και έχει όλα τα βασικά υποσυστήµατα. Η κύρια διαφορά ήταν το μέγεθός του, καθώς δεν ξεπερνούσε σε διαστάσεις ένα κουτί αναψυκτικού, ενώ το βάρος του ήταν μόλις 350 γραµµάρια.
Πέρυσι υπέβαλαν αίτηση συµµετοχής σε πρόγραµµα του Ευρωπαϊκού Οργανισµού ∆ιαστήµατος (ESA) και ταξίδεψαν µέχρι τη Νορβηγία, όπου και εκτόξευσαν τον «Ικαροµένιππο». Η εκτόξευση έγινε τον Αύγουστο, στον αρκτικό κύκλο, µε υπερηχητικό πύραυλο που έφθασε σε ύψος τα 1.000 µέτρα. Επέστρεψε µε τη βοήθεια ενός αλεξιπτώτου, παρέχοντας χρήσιµες πληροφορίες για τη θερµοκρασία του αέρα, την ατµοσφαιρική πίεση, ακόµη και το στίγµα του δορυφόρου. «Ουσιαστικά είδαν στην πράξη πολλές από τις θεωρίες που αναφέρουµε στην τάξη και γράφουν τα βιβλία», λέει ο καθηγητής.
Σχεδόν οκτώ µήνες µετά, µία νέα διάκριση έρχεται για τους µαθητές. Ο δορυφόρος τους ψηφίστηκε ως ένα από τα 24 καλύτερα πρότζεκτ σε ευρωπαϊκό επίπεδο στο Φόρουµ Πρωτοπόρων Εκπαιδευτικών της Microsoft και τα οποία θα διαγωνιστούν στον αντίστοιχο παγκόσµιο διαγωνισµό που θα γίνει τον ερχόµενο Νοέµβριο στην Ουάσιγκτον. «Η διάκριση αυτή ήταν µια δικαίωση για τους µαθητές, οι οποίοι εργάστηκαν σκληρά για να φέρουν τον “Ικαροµένιππο” σε αυτή τη θέση», τονίζει ο κ. Κοντέλλης, ο οποίος παρέλαβε και το βραβείο. Την περασµένη εβδοµάδα περισσότεροι από 300 εκπαιδευτικοί από 40 ευρωπαϊκές χώρες συναντήθηκαν στη Μόσχα, όπου και παρουσίασαν 86 εκπαιδευτικά πρότζεκτ. Σκοπός, άλλωστε, του Φόρουµ που γίνεται για 8η συνεχή χρονιά είναι να στηρίξει τις προσπάθειες δασκάλων απ’ όλο τον κόσµο, οι οποίοι έχουν εντάξει στο µάθηµά τους τις νέες τεχνολογίες.
Οπως εξηγεί στα «ΝΕΑ» η γενική µάνατζερ παγκοσµίως για το πρόγραµµα «Πρωτοπόροι Εκπαιδευτικοί» της Microsoft Λόρεν Γούντµαν, η εταιρεία προσπαθεί να δηµιουργήσει εκπαιδευτικές εµπειρίες, οι οποίες αφαιρούν τα εµπόδια και φέρνουν πιο κοντά µαθητές, καθηγητές, γονείς, διευθυντές σχολείων και υπουργεία Παιδείας.
Στο μεγαλύτερο τμήμα του περασμένου αιώνα, εκπαιδευτικοί και πολλοί επιστήμονες πίστευαν ότι τα παιδιά δεν μπορούν να μάθουν Μαθηματικά, πριν από την ηλικία των πέντε χρόνων, ότι ο εγκέφαλός τους απλώς δεν ήταν έτοιμος.
Η παραδοσιακή διδασκαλία βασικών ακαδημαϊκών ικανοτήτων δίνει τη θέση της σε προσεγγίσεις που βασίζονται στη γνωστική ψυχολογία. Σε πολλές πόλεις, μεταξύ των οποίων η Βοστώνη, η Ουάσιγκτον και η Νασβίλ, τα σχολεία πειραματίζονται με νέα προγράμματα, για να βελτιώσουν τις μαθηματικές ικανότητες στην προσχολική ηλικία. Σε άλλα, οι δάσκαλοι χρησιμοποιούν νέες τεχνικές, για να βοηθήσουν τα παιδιά να ξεπεράσουν τη δυσλεξία τους.
«Η διδασκαλία είναι μια πολύ παλιά τέχνη, παρ΄όλα αυτά δεν είχαμε ιδέα, πώς επηρέαζε τον αναπτυσσόμενο εγκέφαλο», λέει ο Κουρτ Φίσερ, επικεφαλής του προγράμματος Εγκέφαλος και Παιδεία, στο Χάρβαρντ. «Αυτό έχει αρχίσει να αλλάζει και για πρώτη φορά βλέπουμε να συνεργάζονται οι τομείς της ψυχολογίας και της εκπαίδευσης».
Ειδικό πρόγραμμα
Αυτή η σχέση είναι ακόμη καινούργια και αδέξια, λένε οι ειδικοί, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις παρουσιάζει μια αξιοσημείωτη διαδρομή. Όπως ένα πρώιμο μαθηματικό πρόγραμμα, που διδάσκεται σε σχολεία του Μπάφαλο, (τη δεύτερη πολυπληθέστερη πόλη της πολιτείας της Νέας Υόρκης). Αν τέτοιου είδους προσπάθειες βρουν απήχηση στα σχολεία, λένε οι ειδικοί, θα μπορούσαν να μετασχηματίσουν εκ βάθρων την τέχνη της διδασκαλίας.
Σε μια τυπική προσχολική τάξη, τα παιδιά μαθαίνουν συνήθως ελάχιστα Μαθηματικά, ασκούνται στην αρίθμηση και ορισμένες φορές βλέπουν βιβλία με αριθμούς, και αυτό είναι όλο. Σε κάποιες τάξεις αφιερώνεται ελάχιστος ή και καθόλου χρόνος στα Μαθηματικά, όπως έδειξαν πρόσφατες έρευνες - πολύ λιγότερο από τις δυνατότητες των παιδιών και διόλου αρκετός για να προετοιμαστούν, όσα δεν έχουν επαφή με τα Μαθηματικά από το σπίτι και γρήγορα μένουν πίσω στο σχολείο.
«Από τη στιγμή που θα συμβεί κάτι τέτοιο, είναι πολύ δύσκολο να αλλάξει», λέει η Julie Sarama, ερευνήτρια στο Πανεπιστήμιο του Μπάφαλο, η οποία μαζί με τον καθηγητή και σύζυγό της Doug Clements έχουν δημιουργήσει το εκπαιδευτικό πρόγραμμα Building Blocks, για να εμπλουτίσουν τη μαθηματική εκπαίδευση.
«Αποφασίζουν ότι δεν είναι καλοί στα Μαθηματικά - δεν είμαι μαθηματικό μυαλό λένε- και γρήγορα συμφωνούν το σχολείο και οι γονείς», λέει ο δρ Clements.
Σε μια αίθουσα, όπου εφαρμόζεται το πρόγραμμα Building Blocks, οι αριθμοί βρίσκονται σε ζωγραφιές, σε ηλεκτρονικά παιχνίδια και μοιράζονται ισότιμα τον χρόνο με τα γράμματα. Τα παιδιά ασχολούνται με δημιουργικά παιχνίδια αρίθμησης και παράλληλα ασκούνται σε άλλες μαθηματικές έννοιες, όπως οι πληθάριθμοι (πόσα μέρη αποτελούν ένα σύνολο) και η αντιστοίχιση ομάδων αντικειμένων.
Στην προσχολική ηλικία, ο εγκέφαλος μπορεί να επεξεργαστεί μεγαλύτερους αριθμούς από το ένα ή το δύο και αγωνίζεται να συνδέσει τρεις κρίσιμες έννοιες: την πραγματική ποσότητα με το αφηρημένο σύμβολό της («7») και την αντίστοιχη λέξη του αριθμού («επτά»).
Τα παιδιά αρχίζουν να αναγνωρίζουν γεωμετρικά σχήματα από την ηλικία των 18 μηνών και σύμφωνα με τα αποτελέσματα των σχετικών ερευνών, στην προσχολική ηλικία ο εγκέφαλος μπορεί ν΄ αρχίσει να αντιλαμβάνεται άτυπους γεωμετρικούς ορισμούς.
Αριθμητικό ένστικτο
Όπως έχουν δείξει πρόσφατες έρευνες, υπάρχει ένα ακατέργαστο «αριθμητικό ένστικτο» στην ανατομία του εγκεφάλου και οι άνθρωποι, ακόμη και όσοι δεν έχουν την παραμικρή μαθηματική μόρφωση, έχουν μια γενική αντίληψη των ποσοτήτων.
Η δασκάλα ενός δημόσιου σχολείου σε υποβαθμισμένη περιοχή του Μπάφαλο, ζητεί από τους μικρούς μαθητές της να «φωτογραφίσουν» το περιεχόμενο μιας σελίδας, στην οποία είχε σχηματίσει τρεις κουκκίδες. Στη συνέχεια, ρωτά πόσες κουκκίδες είδαν κι άλλοι απαντούν «τρεις», άλλοι «τέσσερις». Αυτό το μάθημα έχει στόχο να διδάξει στα παιδιά την ικανότητα της άθροισης, πώς να αναγνωρίζουν την ποσότητα, όχι μετρώντας, αλλά με μια ματιά.
Τα τελευταία τέσσερα χρόνια, το πρόγραμμα Building Blocks δοκιμάστηκε σε πάνω από 400 σχολικές αίθουσες, συγκρίνοντας τις επιδόσεις των παιδιών με εκείνες άλλων τάξεων με άλλο πρόγραμμα Μαθηματικών ή και κανένα. Στα τεστ πρόσθεσης, αφαίρεσης και αναγνώρισης των αριθμών έπειτα από ένα σχολικό χρόνο, τα παιδιά που είχαν παρακολουθήσει το πρόγραμμα ανταποκρίνονταν σε ποσοστό 76% και όσα δεν το είχαν παρακολουθήσει σε 50%. Τα προγράμματα αυτά εξακολουθούν να έχουν πολλές δυσκολίες, αλλά για την ώρα τουλάχιστον, η εκπαίδευση με βάση τη γνωστική ψυχολογία βοήθησε εκατοντάδες παιδιά του Μπάφαλο να βελτιώσουν τις εγγενείς ικανότητές τους στα Μαθηματικά.
Ένα μήνα πριν από τη συμπλήρωση 70 χρόνων από το κατέβασμα της σημαίας με τη σβάστικα από την Ακρόπολη και παραμονή της εργατικής Πρωτομαγιάς, έφυγε σήμερα (30 Μαϊου 2011) από τη ζωή σε ηλικία 89 ετών ο Απόστολος Φιλίππου Σάντας.
Ο Λάκης Σάντας έγινε γνωστός στο πανελλήνιο όταν τη νύχτα της 30ης προς 31ης Μαΐου του 1941, κατέβασε μαζί με τον Μανώλη Γλέζο τη χιτλερική σημαία από τον ιερό βράχο της Ακρόπολης. Ο Απόστολος Σάντας με καταγωγή από τη Λευκάδα, γεννήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου του 1922 στην Πάτρα. Πάντοτε ιδεολόγος και σεμνός έλεγε: "Δεν κυνηγάω ποτέ τη δημοσιότητα γιατί θεωρώ ότι έχει εξευτελιστεί το ζήτημα πάρα πολύ. Την αντίσταση δεν την κάναμε μόνο εμείς, έχουν σκοτωθεί χιλιάδες παλικάρια, γυναίκες και άνδρες, "ανώνυμοι" ". Η οικογένειά του ευχαριστεί θερμά τον διευθυντή, τους γιατρούς και τους νοσηλευτές του Κέντρου Αναπνευστικής Ανεπάρκειας στη Μονάδα Αυξημένης Φροντίδας (Μ.Α.Θ.) του νοσοκομείου "Σωτηρία", που έκαναν ό,τι ήταν δυνατόν για να τον σώσουν.
ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΟΝ ΛΕΥΚΑΔΙΤΗ ΗΡΩΑ ΤΟΥ ΗΛΙΑ Π. ΓΕΩΡΓΑΚΗ ΜΕ ΤΙΤΛΟ "ΔΥΣΚΟΛΟΙ ΚΑΙΡΟΙ ΓΙΑ ΗΡΩΕΣ'' (21/11/2009) ΣΤΗΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ "ΤΑ ΝΕΑ".
Εμείς αγόρι μου, είμαστε δρακογενιά. κοιμηθήκαμε πάνω στο χιόνι κι ανάμεσα στα σκίνα, δεχτήκαμε ιατρικές επεμβάσεις χωρίς αναισθητικό, ζήσαμε στα ξερονήσια και τις φυλακές, μάθαμε ν αντέχουμε Δεν προλάβαμε να βγούμε στην κοινωνία και βγήκαμε στην Αντίσταση Τα οράματα ερχόντουσαν από μόνα τους να σε συναντήσουν
Ένα μικρο τέταρτο του φεγγαριού έπεφτε πάνω στα μάρμαρα το χουμε συμφωνήσει Αν παν να μας συλλάβουν, θα πέσουμε από την Ακρόπολη Παιδευόμαστε, είναι στερεωμένη με συρματόσκοινο .Σιωπή Μονό το γέλιο της γερμανικής φρουράς ακούγεται Ένα ένα κόβουμε τα σύρματα με χέρια, με δόντια, με λύσσα! Η σημαία πέφτει.
Οι αξίες και τα σύμβολα δεν ξεθωριάζουν. Και ο Λάκης Σάντας, αυτός ο σεμνός Λευκαδίτης, που ελπίζει σε μια ιδανική, αταξική, ειρηνική κοινωνία για τα νέα παιδιά, που ονειρεύεται την παγκόσμια ειρήνη, είναι ένα σύμβολο, ένας ήρωας. Ο Λακης Σάντας τη νύχτα της 30ης Μάιου 1941- μαζί με τον Μανώλη Γλέζο - κατέβασαν τη σημαία των ναζί κατακτητών από τον Ιερό βράχο της Ακρόπολης. Οι Λευκαδίτες τον τίμησαν και τον τιμούν. Ωστόσο για τη σημερινή νεολαία είναι άγνωστος. Και είναι άγνωστος γιατί άλλαξαν τα πρότυπα μας.
Σήμερα η μισή Ελλάδα θέλει να παίξει στα τηλεπαιχνίδια και η άλλη μισή θέλει να διοριστεί στο δημόσιο αφού φανατιστεί με τις ποδοσφαιρικές ομάδες.
Δυστυχώς - και με σημαντική ευθύνη των ίδιων των γονιών - τα εθνικά μας πρότυπα είναι πλέον η τηλεόραση και μια θέση στο Δημόσιο. Είναι δεδομένο.
Με την τσίμπλα στο μάτι θαυμάζουμε τα «πρωινάδικα» και μισοκοιμισμένοι
απολαμβάνουμε τα ξενυχτάδικα. Στο ενδιάμεσο διάστημα πίνουμε και δυο τρεις φραπέδες, καπνίζουμε και δυο πακέτα τσιγάρα και ψάχνουμε μέσω των
προκηρύξεων του ΑΣΕΠ την «τρύπα» για το Δημόσιο, έχοντας κατά νου και το «μέσον» στον βουλευτή. Και μέσα σε αυτό το σκηνικό λογικό είναι να περάνει απαρατήρητος ένας ήρωας.
___________________________________________________________
****************************
Η ιστορία των κειμένων του Αρχιμήδη ως τα τέλη του 19ου αιώνα
Στον Αρχιμήδη (περ. 287-212 π.Χ.) αποδίδονται περισσότερα από τριάντα έργα. Από αυτά σώζονται, πλήρως ή εν μέρει, περίπου τα μισά. Από τα σωζόμενα έργα, μερικά βρέθηκαν μόνο σε αραβικές ή λατινικές μεταφράσεις που έγιναν στη διάρκεια του μεσαίωνα, ενώ και εκείνα ακόμη που υπήρχαν στην ελληνική γλώσσα δεν σώζονται όλα στην αρχική σικελική (δωρική) διάλεκτο στην οποία έγραφε ο Αρχιμήδης. Τα παραπάνω στοιχεία είναι ενδεικτικά της δαιδαλώδους διαδρομής που ακολούθησε στην πορεία των αιώνων η παράδοση των χειρογράφων του Αρχιμήδη, μέχρι να φτάσουμε στην τρίτομη έκδοση των Απάντων του και των αρχαίων ελληνικών σχολίων επί των έργων του, στα 1910-1915, από τον Johann Ludwig Heiberg (1854-1928), καθηγητή των Ελληνικών στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης (|Archimedis opera omnia, cum commentariis Eutocii|, Λειψία, Teubner). Σήμερα, έναν αιώνα μετά την έκδοση του Heiberg, γράφεται ένα νέο, πλούσιο κεφάλαιο σε αυτήν την πολυκύμαντη ιστορία, με την ανάγνωση νέων κειμένων του Αρχιμήδη, τα οποία έρχονται για πρώτη φορά στο φως μετά από 1000 χρόνια. Μία πρώτη σημαντική μορφή στην ιστορία της παράδοσης των έργων του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος μ.Χ. αιώνας). Ο Ευτόκιος αναζήτησε χειρόγραφα των έργων του Αρχιμήδη, αποκατέστησε το κείμενο όπου αυτό είχε υποστεί φθορές και σχολίασε τρία έργα. Το αρχείο του Ευτόκιου περιήλθε, γύρω στο 550 μ.Χ., στα χέρια του Ισίδωρου του Μιλήσιου, του ενός από τους αρχιτέκτονες της Αγίας Σοφίας, και μέσω αυτού μεταφέρθηκε στην Κωνσταντινούπολη.
Τίποτα δεν είναι γνωστό για την τύχη των έργων του Αρχιμήδη κατά την περίοδο από τον θάνατο του Ευτόκιου ως τα μέσα του 9ου αιώνα. Τότε, στα τέλη της δεκαετίας του 850, ένας πολυμαθής λόγιος και συνάμα πρακτικός άνθρωπος, ο Λέων ο γεωμέτρης, ορίστηκε διευθυντής της σχολής που ίδρυσε ο καίσαρας Βάρδας μέσα στα ανάκτορα της Μαγναύρας. Δύο χειρόγραφα με έργα του Αρχιμήδη που διασώζονται, περιέχουν σημειώσεις που επαινούν τον Λέοντα για τις γνώσεις του στη γεωμετρία.
Ο δρόμος προς τη Δύση
Στην περίοδο μετά την Τέταρτη Σταυροφορία το 1204 ο "κώδικας Α" με τα έργα του Αρχιμήδη πήρε, όπως τόσα άλλα ελληνικά χειρόγραφα του Βυζαντίου, τον δρόμο προς τη Δύση. Μεταφέρθηκε αρχικώς στο Παλέρμο, για να καταλήξει, μετά το 1266, στη Βιβλιοθήκη του Πάπα. Η ιστορία του κώδικα στα χρόνια που ακολούθησαν δεν είναι γνωστή σε όλες τις λεπτομέρειες. Αυτά που γνωρίζουμε είναι ότι χρησιμοποιήθηκε από τον δομινικανό μοναχό και λόγιο Γουλιέλμο του Μέρμπερκε (περ. 1215-1297) για τη λατινική μετάφραση των έργων του Αρχιμήδη που εκπόνησε το 1269, ενώ από τους καταλόγους των βιβλίων της Βιβλιοθήκης του Πάπα που συντάχθηκαν στα έτη 1295 και 1311 προκύπτει ότι μέχρι τότε το χειρόγραφο ανήκε σε αυτήν. Αργότερα γνωρίζουμε ότι πέρασε σε ιδιωτικά χέρια ώσπου, μετά το 1564 χάθηκε οριστικά. Αλλά εν τω μεταξύ είχαν δημιουργηθεί αρκετά αντίγραφά του.
Τα νέα ευρήματα
Η ανακάλυψη του παλίμψηστου κώδικα του Αρχιμήδη και η ανάγνωσή του από τον Heiberg (1906), υπήρξε γεγονός μείζονος σημασίας για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Κατ’ αρχάς συνέβαλε ουσιαστικά στο να βελτιωθούν σε πολλά σημεία μερικά από τα κείμενα του Αρχιμήδη που ήσαν γνωστά από πολλούς αιώνες και είχαν εκδοθεί ήδη προ του 1906. Δεν ήταν όμως μόνον αυτό. Ούτε ήταν κυρίως αυτό. Το παλίμψηστο έφερε στο φως μερικά νέα κείμενα, τα οποία ως τότε ήσαν παντελώς άγνωστα. Το πιο σημαντικό από τα κείμενα αυτά ήταν η πραγματεία Περί των μηχανικών θεωρημάτων, ένα κείμενο που θεωρείται από πολλούς το πιο σημαντικό κείμενο που έγραψε ο Αρχιμήδης. Περιείχε επίσης το παλίμψηστο τις δύο πρώτες σελίδες μιας άλλης πραγματείας με τον περίεργο τίτλο "Στομάχιο". Τέλος, περιείχε το κείμενο μιας πραγματείας της οποίας το περιεχόμενο δεν ήταν άγνωστο, καθώς είχαμε μια μεσαιωνική λατινική μετάφρασή του από τον Γουλιέλμο του Μέρμπεκε. Ήταν η πραγματεία Περί οχουμένων.
Με την εκ νέου ανακάλυψή του φάνηκε ότι η εν γένει κατάσταση του χειρογράφου είναι πολύ επιβαρημένη, όχι μόνο λόγω του χρόνου αλλά και των κακών συνθηκών φύλαξης κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα. Το ερώτημα ήταν τι το καινούργιο θα ανέμενε κανείς να βρεθεί στο χειρόγραφο, σήμερα, έναν αιώνα μετά την πρώτη ανάγνωσή του. Η μελέτη του χειρογράφου από τις ερευνητικές ομάδες που ασχολούνται οκτώ χρόνια τώρα με αυτό, έχει δώσει θεαματικά και άκρως εντυπωσιακά αποτελέσματα. Τα πιο σημαντικά από τα αποτελέσματα είναι τα εξής:
1) Αποκαλύφθηκαν τα δεκάδες διαγράμματα που υπάρχουν στις πραγματείες του Αρχιμήδη που περιέχει το παλίμψηστο. Όπως προκύπτει, υπάρχουν πολλές διαφορές σε σύγκριση με τα διαγράμματα που σχεδίασε ο Heiberg στην έκδοση του 1910-1915. Οι διαφορές στα διαγράμματα δεν είναι πάντοτε άνευ σημασίας. Νέες έρευνες έχουν αποδείξει ότι τα διαγράμματα παίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στα αρχαία μαθηματικά κείμενα. Δεν είναι απλώς συνοδευτικά του κειμένου της απόδειξης ενός θεωρήματος, δεν σχεδιάζονταν μόνο και μόνο για εποπτικούς λόγους, όπως πιστεύαμε παλαιότερα. Μάλλον το αντίθετο φαίνεται ότι συμβαίνει: το κείμενο είναι εκείνο που συνοδεύει το διάγραμμα. Τα αρχαία μαθηματικά θεωρήματα είναι διαγράμματα συνοδευόμενα από κείμενο και όχι κείμενο που συνοδεύεται από διαγράμματα. Πολλές φορές το διάγραμμα περιέχει πληροφορίες που δεν υπάρχουν στην "απόδειξη". Για αυτό ο ρόλος του είναι καθοριστικός στην ανάπτυξη του μαθηματικού (γεωμετρικού) συλλογισμού.
2) Μία από τις πιο σημαντικές εργασίες του Αρχιμήδη είναι η "Μέθοδος των μηχανικών θεωρημάτων". Με την τεχνική επεξεργασία του χειρογράφου έγινε δυνατόν να διαβαστούν περίπου οκτώ γραμμές από την πρόταση 14 της πραγματείας αυτής, από τις οποίες προέκυψε ένα εντελώς απροσδόκητο αποτέλεσμα. Στις γραμμές αυτές αναπτύσσεται ένας μαθηματικός συλλογισμός, τελείως ξένος με ό,τι γνωρίζαμε ως τώρα για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Είναι ένας μαθηματικός συλλογισμός που χρησιμοποιεί το "ενεργεία άπειρο", κάτι που δεν συναντούμε σε κανένα άλλο μαθηματικό κείμενο της αρχαιότητας. Τέτοιοι συλλογισμοί άρχισαν δειλά-δειλά να υπεισέρχονται στα μαθηματικά τον 16ο και 17ο αιώνα, για να τα εμποτίσουν πλήρως από τα τέλη του 19ου αιώνα και μετά.
3) Η μελέτη του αποσπάσματος από το Στομάχιον έδωσε τη δυνατότητα να διατυπωθεί μια νέα ερμηνεία για το περιεχόμενο και τη σημασία αυτής της παραγνωρισμένης εργασίας του Αρχιμήδη. Η επικρατέστερη άποψη είναι σήμερα ότι ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να βρει ήταν με πόσους τρόπους δεκατέσσερα επίπεδα σχήματα μπορούν να συνενωθούν ώστε να σχηματιστεί ένα τετράγωνο. Πρόκειται λοιπόν για ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα που, μάλιστα, ανήκει στη συνδυαστική. Ανατρέπεται με αυτόν τον τρόπο η πεποίθησή μας ότι η συνδυαστική είναι ένας σύγχρονος κλάδος των Μαθηματικών. Οι ρίζες της ανάγονται στον Αρχιμήδη!
4) Έχει αναγνωσθεί μια νέα σελίδα από την πραγματεία Περί οχουμένων.
5) Μία από τις καταστροφές που υπέστη το παλίμψηστο στη διάρκεια του 20ού αιώνα οφείλεται στη "διακόσμησή του" με τις εικόνες των τεσσάρων ευαγγελιστών, τις οποίες ζωγράφισε κάποιος σε ισάριθμες σελίδες του χειρογράφου. Χρησιμοποιώντας την τεχνική της απεικόνισης φθορισμού με ακτίνες Χ οι ερευνητές μπόρεσαν να ανακαλύψουν το κείμενο που υπάρχει ακόμα και σε αυτές τις σελίδες! Πρόκειται για κείμενο από την πραγματεία "Μέθοδος των μηχανικών θεωρημάτων".
6) Η ανάγνωση του χειρογράφου έχει επιφέρει εκατοντάδες μικρότερες διορθώσεις στο κείμενο της έκδοσης του Heiberg.
Η ιστορία του παλίμψηστου
Οι γνώσεις μας για το έργο του Αρχιμήδη διευρύνθηκαν με δραματικό τρόπο από νέες ανακαλύψεις που έγιναν στη διάρκεια του 20ού αιώνα. Η σπουδαιότερη από αυτές ήταν η ανακάλυψη ενός παλίμψηστου κώδικα, ο οποίος περιείχε μερικά κείμενα που δεν ήταν ως τότε γνωστά. Η εξιστόρηση της ανακάλυψης έχει ως εξής:
Το έτος 1899 ο Αθανάσιος Παπαδόπουλος-Κεραμεύς (1856-1912) σημείωνε στον τέταρτο τόμο του καταλόγου των χειρογράφων των ανά τον κόσμο βιβλιοθηκών του Πατριαρχείου των Ιεροσολύμων την ύπαρξη ενός παλίμψηστου περγαμηνού χειρογράφου μαθηματικού περιεχομένου, το οποίο ανήκε στη βιβλιοθήκη του μετοχίου του Παναγίου Τάφου στην Κωνσταντινούπολη, όπου ήταν καταχωρημένο ως "Κώδιξ ιεροσολυμιτικός" υπ' αριθ. 355. Παρέθεσε μάλιστα και μικρό δείγμα του μαθηματικού κειμένου που μπόρεσε να διαβάσει. Ο Παπαδόπουλος πρόσθεσε επίσης την πληροφορία ότι το χειρόγραφο περιέχει μια επιγραφή του 16ου αιώνα, η οποία αναφέρει ότι ανήκε στη μονή του Αγίου Σάββα. Η επιγραφή αυτή σήμερα δεν διασώζεται.
Οι νεότερες πληροφορίες
Η έρευνα που γίνεται αυτόν τον καιρό γύρω από τον κώδικα έχει φέρει στο φως μερικά άκρως εντυπωσιακά στοιχεία για την ιστορία του. Ο κώδικας γράφηκε κατά το τρίτο τέταρτο του 10ου αιώνα, πιθανώς στην Κωνσταντινούπολη. Περιείχε τουλάχιστον επτά έργα του Αρχιμήδη. Αργότερα ο κώδικας μετατράπηκε σε παλίμψηστο. Πότε και πού έγινε αυτό; Ποιος ήταν ο υπεύθυνος για αυτήν την πράξη; Στα ερωτήματα αυτά μέχρι πρότινος δεν υπήρχε απάντηση. Όμως τον Μάρτιο του τρέχοντος έτους μία ομάδα επιστημόνων κατόρθωσε να διαβάσει σε μια σελίδα του χειρογράφου την ταυτότητα του μοναχού που έσβησε το κείμενο του Αρχιμήδη και έγραψε επάνω από αυτό το λειτουργικό ευχολόγιο. Το όνομά του ήταν Ιωάννης Μύρωνας. Ο Ιωάννης ολοκλήρωσε το έργο της μετατροπής του χειρογράφου του Αρχιμήδη σε εκκλησιαστικό κείμενο στις 14 Απριλίου 1229. Και όλα αυτά έγιναν στην Ιερουσαλήμ.
Η ανάγνωση του παλίμψηστου χειρογράφου του Αρχιμήδη
Όπως ήταν αναμενόμενο, τόσο λόγω της δημοσιότητας που είχε πάρει το όλο θέμα όσο και λόγω της σπουδαιότητας του τεκμηρίου, η ανάγνωση του παλίμψηστου θεωρήθηκε μέγιστη πρόκληση αλλά και εξαιρετική ευκαιρία για να αναπτυχθούν και να δοκιμαστούν νέες μέθοδοι λήψης και επεξεργασίας ψηφιακών εικόνων. Πολλά επιστημονικά εργαστήρια πανεπιστημίων και μεγάλων ιδιωτικών εταιριών υπέβαλαν σχετικές προτάσεις.
Κατάλογος πρώτων αριθμών
έως το 7919
Για περισσότερες πληροφορίες δείτε την ιστοσελίδα
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013
1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151
1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223
1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373
1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451
1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583
1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657
1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733
1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889
1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053
2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129
2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213
2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287
2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357
2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531
2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617
2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687
2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819
2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999
3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079
3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181
3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257
3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331
3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511
3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571
3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643
3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727
3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821
3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907
3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989
4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057
4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139
4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231
4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297
4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409
4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493
4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583
4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657
4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751
4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831
4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937
4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003
5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087
5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179
5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279
5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387
5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443
5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521
5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639
5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693
5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791
5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857
5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939
5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053
6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133
6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221
6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301
6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367
6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473
6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571
6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673
6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761
6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833
6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917
6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997
7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103
7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207
7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297
7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411
7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499
7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561
7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643
7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723
7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829
7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919
Νέο ρεκόρ υπολογισμού του αριθμού «π», με σχεδόν 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία
Ανακάλυψη τον Ιανουάριο του 2010 (συνεχίζεται)
Ένας επιστήμονας της πληροφορικής έσπασε το ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων μιας διάσημης μαθηματικής σταθεράς, του αριθμού «π», υπολογίζοντας σχεδόν 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία που ακολουθούν μετά το 3,14, κάπου 123 δισεκατομμύρια περισσότερα ψηφία σε σχέση με το προηγούμενο ρεκόρ.
Ο Φαμπρίς Μπελάρντ, σύμφωνα με το BBC, χρησιμοποίησε έναν απλό επιτραπέζιο υπολογιστή για να κάνει το νέο υπολογισμό, που του πήρε 131 μέρες συνολικά. Ο νέος αριθμός-ρεκόρ του «π» χρειάζεται πάνω από ένα terabyte για να αποθηκευτεί σε σκληρό δίσκο.
Τα προηγούμενα ψηφία-ρεκόρ του «π» είχαν βρεθεί με τη βοήθεια τεράστιων υπερ-υπολογιστών, όμως ο Μπελάρντ υποστηρίζει ότι η δική του μέθοδος υπολογισμού είναι 20 φορές πιο αποτελεσματική.
Το προηγούμενο ρεκόρ με περίπου 2,6 τρισ. ψηφία κατείχε, από τον Αύγουστο του 2009, ο Νταϊσούκε Τακαχάσι του πανεπιστημίου Τσουκούμπα της Ιαπωνίας και του είχε πάρει 29 ώρες, αλλά με την υποστήριξη ενός σούπερ-κομπιούτερ 2.000 φορές πιο γρήγορου και χιλιάδες φορές πιο ακριβού από τον κοινό υπολογιστή που χρησιμοποίησε ο Μπελάρντ.
Εκτιμάται ότι αν χρειάζεται περίπου ένα δευτερόλεπτο για να εκφωνηθεί ένας αριθμός, η πλήρης απαρίθμηση φωναχτά όλων των ψηφίων του «π» θα απαιτούσε πάνω από 49.000 χρόνια!
Ο Μπελάρντ δήλωσε ότι διάβασε το πρώτο του βιβλίο του για τον αριθμό «π» όταν ήταν 14 ετών και έκτοτε παρακολουθούσε ανελλιπώς τις προσπάθειες υπολογισμού όλο και περισσότερων ψηφίων του. Όπως είπε, τον ενδιαφέρει ιδιαίτερα η πρακτική πλευρά του ζητήματος, καθώς ορισμένοι από τους αλγόριθμους που απαιτούνται για τον υπολογισμό του «π», είναι χρήσιμοι για άλλα πράγματα στους υπολογιστές.
Όπως ανέφερε, σχεδιάζει να δημοσιοποιήσει μια έκδοση του προγράμματος που χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό του «π», ενώ δεν απέκλεισε να επιμείνει για την ανακάλυψη και άλλων ψηφίων στο μέλλον. Όπως δήλωσε ο Άιβαρς Πίτερσον, διευθυντής της Μαθηματικής Ένωσης της Αμερικής, το νέο αποτέλεσμα αποτελεί τον τελευταίο κρίκο σε μια μακρά αλυσίδα προσπαθειών να διευρυνθεί το μήκος των γνωστών ψηφίων του «π». Μεταξύ άλλων, ο Νεύτων είχε περάσει αρκετό χρόνο προσπαθώντας να βρει και άλλα ψηφία.
Στην εποχή μας, πέρα από το γόητρο, τη διασκέδαση και την καθαρή περιέργεια, η αναζήτηση του «π» έχει χρησιμοποιηθεί ως «όχημα» για τον έλεγχο αλγορίθμων και υπολογιστών.
Δημοσιεύτηκε στο "Βήμα" την Πέμπτη 7 Ιανουαρίου 2010
______________________________________________________
Ανακάλυψη που ολοκληρώθηκε τον Ιούλιο του 2010
Νέο παγκόσμιο ρεκόρ στον υπολογισμό του αριθμού «π», με πέντε τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία, ανακοίνωσαν ότι πέτυχαν χθες ένας Ιάπωνας και ένας Αμερικανός, αμφότεροι ειδικοί στην Πληροφορική. Εφόσον το επίτευγμά τους επιβεβαιωθεί, το νέο ρεκόρ επισήμως θα διαδεχθεί αυτό που κατείχε ένας Γάλλος μηχανικός λογισμικού Fabrice Bellard με περίπου 2,7 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία.
Ο νέος υπολογισμός, σύμφωνα με τα ξένα πρακτορεία, έγινε από τον 54χρονο μηχανικό υπολογιστικών συστημάτων Shigeru Kondo, που είχε αναλάβει το hardware, σε συνεργασία με τον Αμερικανό φοιτητή πληροφορικής Alexander J. Yee, που ήταν υπεύθυνος για το software. Οι δύο ερευνητές συνεργάστηκαν επικοινωνώντας με αλλεπάλληλα e-mail μεταξύ Ιαπωνίας και ΗΠΑ.
Για να επιτευχθεί το νέο ρεκόρ χρειάστηκαν τρεις μήνες με την χρήση ενός απλού επιτραπέζιου υπολογιστή, με ισχυρούς επεξεργαστές Intel, ο οποίος ήταν συνδεδεμένος με 20 εξωτερικούς σκληρούς δίσκους και «έτρεχε» το λειτουργικό σύστημα Windows Server 2008R2.
Ο Kondo συναρμολόγησε μόνος του τον υπολογιστή αγοράζοντας τα υλικά από τοπικά καταστήματα υπολογιστών και μέσω διαδικτύου, ενώ αρνήθηκε να αποκαλύψει πόσα χρήματα δαπάνησε για να μην αναστατώσει την οικογένειά του! Όπως είπε, όταν έφτασε τα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία, ήταν μεσάνυχτα και ένιωσε μεγάλη ικανοποίηση.
To προηγούμενο ρεκόρ κατείχε ο Fabrice Bellard, ο οποίος επίσης είχε ισχυριστεί ότι δεν είχε χρησιμοποιήσει παρά ένα απλό επιτραπέζιο υπολογιστή και όχι κάποιον υπερ-υπολογιστή, όπως άλλοι κάτοχοι ρεκόρ στο παρελθόν. Πριν τον Bellard, το παγκόσμιο ρεκόρ κατείχε πάλι ένας Ιάπωνας, ο καθηγητής Daisuke Takahashi.
Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες.
Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες.
Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση, με την οποία μπορεί να θυμάται κανείς τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π. Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης αντιστοιχεί και σε ένα ψηφίο του π.
Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι
Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
______________________________________________________
Ο ΔΟΡΥΦΟΡΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΜΥΤΙΛΗΝΗ ΒΡΑΒΕΥΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΗ MICROSOFT
Νέα διάκριση για τον «Ικαροµένιππο»
ΔΗΜΟΣΙΕΥΘΗΚΕ στην εφηερίδα «ΤΑ ΝΕΑ»,
Δευτέρα 28 Μαρτίου 2011 ΡΕΠΟΡΤΑΖ: ΕΥΗ ΣΑΛΤΟΥ
Ο «Ικαροµένιππος», ο εκπαιδευτικός δορυφόρος που κατασκεύασαν µαθητές στη Μυτιλήνη, διακρίθηκε στο 8ο Πανευρωπαϊκό Φόρουµ Πρωτοπόρων Εκπαιδευτικών της Microsoft, το οποίο πραγµατοποιήθηκε την περασµένη βδοµάδα στη Μόσχα, και ύψωσε την ελληνική σηµαία στις πρώτες θέσεις του διαγωνισµού. Ένα ολόκληρο καλοκαίρι χρειάστηκε να δουλεύουν εντατικά οι 10 µμαθητές του 3ου Λυκείου της Μυτιλήνης μαζί µε τον καθηγητή Φυσικής Γιώργο Κοντέλλη, για να μπορέσουν να κατασκευάσουν το δικό τους δορυφόρο, πιστό αντίγραφο ενός κανονικού, µιας και έχει όλα τα βασικά υποσυστήµατα. Η κύρια διαφορά ήταν το μέγεθός του, καθώς δεν ξεπερνούσε σε διαστάσεις ένα κουτί αναψυκτικού, ενώ το βάρος του ήταν μόλις 350 γραµµάρια.
Πέρυσι υπέβαλαν αίτηση συµµετοχής σε πρόγραµµα του Ευρωπαϊκού Οργανισµού ∆ιαστήµατος (ESA) και ταξίδεψαν µέχρι τη Νορβηγία, όπου και εκτόξευσαν τον «Ικαροµένιππο». Η εκτόξευση έγινε τον Αύγουστο, στον αρκτικό κύκλο, µε υπερηχητικό πύραυλο που έφθασε σε ύψος τα 1.000 µέτρα. Επέστρεψε µε τη βοήθεια ενός αλεξιπτώτου, παρέχοντας χρήσιµες πληροφορίες για τη θερµοκρασία του αέρα, την ατµοσφαιρική πίεση, ακόµη και το στίγµα του δορυφόρου. «Ουσιαστικά είδαν στην πράξη πολλές από τις θεωρίες που αναφέρουµε στην τάξη και γράφουν τα βιβλία», λέει ο καθηγητής.
Σχεδόν οκτώ µήνες µετά, µία νέα διάκριση έρχεται για τους µαθητές. Ο δορυφόρος τους ψηφίστηκε ως ένα από τα 24 καλύτερα πρότζεκτ σε ευρωπαϊκό επίπεδο στο Φόρουµ Πρωτοπόρων Εκπαιδευτικών της Microsoft και τα οποία θα διαγωνιστούν στον αντίστοιχο παγκόσµιο διαγωνισµό που θα γίνει τον ερχόµενο Νοέµβριο στην Ουάσιγκτον. «Η διάκριση αυτή ήταν µια δικαίωση για τους µαθητές, οι οποίοι εργάστηκαν σκληρά για να φέρουν τον “Ικαροµένιππο” σε αυτή τη θέση», τονίζει ο κ. Κοντέλλης, ο οποίος παρέλαβε και το βραβείο. Την περασµένη εβδοµάδα περισσότεροι από 300 εκπαιδευτικοί από 40 ευρωπαϊκές χώρες συναντήθηκαν στη Μόσχα, όπου και παρουσίασαν 86 εκπαιδευτικά πρότζεκτ. Σκοπός, άλλωστε, του Φόρουµ που γίνεται για 8η συνεχή χρονιά είναι να στηρίξει τις προσπάθειες δασκάλων απ’ όλο τον κόσµο, οι οποίοι έχουν εντάξει στο µάθηµά τους τις νέες τεχνολογίες.
Οπως εξηγεί στα «ΝΕΑ» η γενική µάνατζερ παγκοσµίως για το πρόγραµµα «Πρωτοπόροι Εκπαιδευτικοί» της Microsoft Λόρεν Γούντµαν, η εταιρεία προσπαθεί να δηµιουργήσει εκπαιδευτικές εµπειρίες, οι οποίες αφαιρούν τα εµπόδια και φέρνουν πιο κοντά µαθητές, καθηγητές, γονείς, διευθυντές σχολείων και υπουργεία Παιδείας.
________________________________________________________
Παιδικός εγκέφαλος και μαθηματικά
Του Benedict Carey δημοσιογράφου στην εφημερίδα «The New York Times»,
Δημοσιεύθηκε στην εφημερίδα ΠΟΛΙΤΗΣ - 10/01/2010
Στο μεγαλύτερο τμήμα του περασμένου αιώνα, εκπαιδευτικοί και πολλοί επιστήμονες πίστευαν ότι τα παιδιά δεν μπορούν να μάθουν Μαθηματικά, πριν από την ηλικία των πέντε χρόνων, ότι ο εγκέφαλός τους απλώς δεν ήταν έτοιμος.
Ωστόσο, πρόσφατες μελέτες έχουν ανατρέψει εκ βάθρων αυτή την άποψη - αυτή και μια σειρά άλλων απόψεων για τη Γεωμετρία, την ανάγνωση, τη γλώσσα και τον αυτοέλεγχο στη σχολική αίθουσα. Τα ευρήματα, κυρίως από τον τομέα της γνωστικής νευροψυχολογίας, βοηθούν να αποσαφηνιστεί, πότε ο νεαρός εγκέφαλος είναι σε θέση να συλλάβει βασικές έννοιες.
Σε μια πρόσφατη μελέτη, για παράδειγμα, οι ερευνητές βρήκαν ότι τα περισσότερα παιδιά προσχολικής ηλικίας μπορούσαν να πραγματοποιήσουν υποτυπώδεις διαιρέσεις, μοιράζοντας γλυκά σε δύο ή τρία ζωάκια-παιχνίδια. Σε μια άλλη, οι επιστήμονες βρήκαν ότι η ικανότητα του εγκεφάλου να συνδέει γραμματικούς συνδυασμούς με ήχους μπορεί να μην έχει αναπτυχθεί εντελώς μέχρι την ηλικία των 11 χρόνων - πολύ αργότερα από ότι υποθέτουν πολλοί.
Η παραδοσιακή διδασκαλία βασικών ακαδημαϊκών ικανοτήτων δίνει τη θέση της σε προσεγγίσεις που βασίζονται στη γνωστική ψυχολογία. Σε πολλές πόλεις, μεταξύ των οποίων η Βοστώνη, η Ουάσιγκτον και η Νασβίλ, τα σχολεία πειραματίζονται με νέα προγράμματα, για να βελτιώσουν τις μαθηματικές ικανότητες στην προσχολική ηλικία. Σε άλλα, οι δάσκαλοι χρησιμοποιούν νέες τεχνικές, για να βοηθήσουν τα παιδιά να ξεπεράσουν τη δυσλεξία τους.
«Η διδασκαλία είναι μια πολύ παλιά τέχνη, παρ΄όλα αυτά δεν είχαμε ιδέα, πώς επηρέαζε τον αναπτυσσόμενο εγκέφαλο», λέει ο Κουρτ Φίσερ, επικεφαλής του προγράμματος Εγκέφαλος και Παιδεία, στο Χάρβαρντ. «Αυτό έχει αρχίσει να αλλάζει και για πρώτη φορά βλέπουμε να συνεργάζονται οι τομείς της ψυχολογίας και της εκπαίδευσης».
Ειδικό πρόγραμμα
Αυτή η σχέση είναι ακόμη καινούργια και αδέξια, λένε οι ειδικοί, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις παρουσιάζει μια αξιοσημείωτη διαδρομή. Όπως ένα πρώιμο μαθηματικό πρόγραμμα, που διδάσκεται σε σχολεία του Μπάφαλο, (τη δεύτερη πολυπληθέστερη πόλη της πολιτείας της Νέας Υόρκης). Αν τέτοιου είδους προσπάθειες βρουν απήχηση στα σχολεία, λένε οι ειδικοί, θα μπορούσαν να μετασχηματίσουν εκ βάθρων την τέχνη της διδασκαλίας.
Σε μια τυπική προσχολική τάξη, τα παιδιά μαθαίνουν συνήθως ελάχιστα Μαθηματικά, ασκούνται στην αρίθμηση και ορισμένες φορές βλέπουν βιβλία με αριθμούς, και αυτό είναι όλο. Σε κάποιες τάξεις αφιερώνεται ελάχιστος ή και καθόλου χρόνος στα Μαθηματικά, όπως έδειξαν πρόσφατες έρευνες - πολύ λιγότερο από τις δυνατότητες των παιδιών και διόλου αρκετός για να προετοιμαστούν, όσα δεν έχουν επαφή με τα Μαθηματικά από το σπίτι και γρήγορα μένουν πίσω στο σχολείο.
«Από τη στιγμή που θα συμβεί κάτι τέτοιο, είναι πολύ δύσκολο να αλλάξει», λέει η Julie Sarama, ερευνήτρια στο Πανεπιστήμιο του Μπάφαλο, η οποία μαζί με τον καθηγητή και σύζυγό της Doug Clements έχουν δημιουργήσει το εκπαιδευτικό πρόγραμμα Building Blocks, για να εμπλουτίσουν τη μαθηματική εκπαίδευση.
«Αποφασίζουν ότι δεν είναι καλοί στα Μαθηματικά - δεν είμαι μαθηματικό μυαλό λένε- και γρήγορα συμφωνούν το σχολείο και οι γονείς», λέει ο δρ Clements.
Σε μια αίθουσα, όπου εφαρμόζεται το πρόγραμμα Building Blocks, οι αριθμοί βρίσκονται σε ζωγραφιές, σε ηλεκτρονικά παιχνίδια και μοιράζονται ισότιμα τον χρόνο με τα γράμματα. Τα παιδιά ασχολούνται με δημιουργικά παιχνίδια αρίθμησης και παράλληλα ασκούνται σε άλλες μαθηματικές έννοιες, όπως οι πληθάριθμοι (πόσα μέρη αποτελούν ένα σύνολο) και η αντιστοίχιση ομάδων αντικειμένων.
Στην προσχολική ηλικία, ο εγκέφαλος μπορεί να επεξεργαστεί μεγαλύτερους αριθμούς από το ένα ή το δύο και αγωνίζεται να συνδέσει τρεις κρίσιμες έννοιες: την πραγματική ποσότητα με το αφηρημένο σύμβολό της («7») και την αντίστοιχη λέξη του αριθμού («επτά»).
Τα παιδιά αρχίζουν να αναγνωρίζουν γεωμετρικά σχήματα από την ηλικία των 18 μηνών και σύμφωνα με τα αποτελέσματα των σχετικών ερευνών, στην προσχολική ηλικία ο εγκέφαλος μπορεί ν΄ αρχίσει να αντιλαμβάνεται άτυπους γεωμετρικούς ορισμούς.
Αριθμητικό ένστικτο
Όπως έχουν δείξει πρόσφατες έρευνες, υπάρχει ένα ακατέργαστο «αριθμητικό ένστικτο» στην ανατομία του εγκεφάλου και οι άνθρωποι, ακόμη και όσοι δεν έχουν την παραμικρή μαθηματική μόρφωση, έχουν μια γενική αντίληψη των ποσοτήτων.
Η δασκάλα ενός δημόσιου σχολείου σε υποβαθμισμένη περιοχή του Μπάφαλο, ζητεί από τους μικρούς μαθητές της να «φωτογραφίσουν» το περιεχόμενο μιας σελίδας, στην οποία είχε σχηματίσει τρεις κουκκίδες. Στη συνέχεια, ρωτά πόσες κουκκίδες είδαν κι άλλοι απαντούν «τρεις», άλλοι «τέσσερις». Αυτό το μάθημα έχει στόχο να διδάξει στα παιδιά την ικανότητα της άθροισης, πώς να αναγνωρίζουν την ποσότητα, όχι μετρώντας, αλλά με μια ματιά.
Τα τελευταία τέσσερα χρόνια, το πρόγραμμα Building Blocks δοκιμάστηκε σε πάνω από 400 σχολικές αίθουσες, συγκρίνοντας τις επιδόσεις των παιδιών με εκείνες άλλων τάξεων με άλλο πρόγραμμα Μαθηματικών ή και κανένα. Στα τεστ πρόσθεσης, αφαίρεσης και αναγνώρισης των αριθμών έπειτα από ένα σχολικό χρόνο, τα παιδιά που είχαν παρακολουθήσει το πρόγραμμα ανταποκρίνονταν σε ποσοστό 76% και όσα δεν το είχαν παρακολουθήσει σε 50%. Τα προγράμματα αυτά εξακολουθούν να έχουν πολλές δυσκολίες, αλλά για την ώρα τουλάχιστον, η εκπαίδευση με βάση τη γνωστική ψυχολογία βοήθησε εκατοντάδες παιδιά του Μπάφαλο να βελτιώσουν τις εγγενείς ικανότητές τους στα Μαθηματικά.
Τα προγράμματα αυτά εξακολουθούν να έχουν πολλές δυσκολίες, αλλά για την ώρα τουλάχιστον, η εκπαίδευση με βάση τη γνωστική ψυχολογία βοήθησε εκατοντάδες παιδιά του Μπάφαλο.
_____________________________________________
ΕΝΑΣ ΗΡΩΑΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΚΩΝ ΜΟΥ ΧΡΟΝΩΝ
Ιστορίες που άκουγα από τον Πατέρα μου και τους παπούδες μου.
ΛΑΚΗΣ ΣΑΝΤΑΣ: Ο ΜΕΓΑΛΟΣ ΛΕΥΚΑΔΙΤΗΣ ΗΡΩΑΣ
Ένα μήνα πριν από τη συμπλήρωση 70 χρόνων από το κατέβασμα της σημαίας με τη σβάστικα από την Ακρόπολη και παραμονή της εργατικής Πρωτομαγιάς, έφυγε σήμερα (30 Μαϊου 2011) από τη ζωή σε ηλικία 89 ετών ο Απόστολος Φιλίππου Σάντας.
Ο Λάκης Σάντας έγινε γνωστός στο πανελλήνιο όταν τη νύχτα της 30ης προς 31ης Μαΐου του 1941, κατέβασε μαζί με τον Μανώλη Γλέζο τη χιτλερική σημαία από τον ιερό βράχο της Ακρόπολης. Ο Απόστολος Σάντας με καταγωγή από τη Λευκάδα, γεννήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου του 1922 στην Πάτρα. Πάντοτε ιδεολόγος και σεμνός έλεγε: "Δεν κυνηγάω ποτέ τη δημοσιότητα γιατί θεωρώ ότι έχει εξευτελιστεί το ζήτημα πάρα πολύ. Την αντίσταση δεν την κάναμε μόνο εμείς, έχουν σκοτωθεί χιλιάδες παλικάρια, γυναίκες και άνδρες, "ανώνυμοι" ". Η οικογένειά του ευχαριστεί θερμά τον διευθυντή, τους γιατρούς και τους νοσηλευτές του Κέντρου Αναπνευστικής Ανεπάρκειας στη Μονάδα Αυξημένης Φροντίδας (Μ.Α.Θ.) του νοσοκομείου "Σωτηρία", που έκαναν ό,τι ήταν δυνατόν για να τον σώσουν.
ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΟΝ ΛΕΥΚΑΔΙΤΗ ΗΡΩΑ ΤΟΥ ΗΛΙΑ Π. ΓΕΩΡΓΑΚΗ ΜΕ ΤΙΤΛΟ "ΔΥΣΚΟΛΟΙ ΚΑΙΡΟΙ ΓΙΑ ΗΡΩΕΣ'' (21/11/2009) ΣΤΗΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ "ΤΑ ΝΕΑ".
Εμείς αγόρι μου, είμαστε δρακογενιά. κοιμηθήκαμε πάνω στο χιόνι κι ανάμεσα στα σκίνα, δεχτήκαμε ιατρικές επεμβάσεις χωρίς αναισθητικό, ζήσαμε στα ξερονήσια και τις φυλακές, μάθαμε ν αντέχουμε Δεν προλάβαμε να βγούμε στην κοινωνία και βγήκαμε στην Αντίσταση Τα οράματα ερχόντουσαν από μόνα τους να σε συναντήσουν
Ένα μικρο τέταρτο του φεγγαριού έπεφτε πάνω στα μάρμαρα το χουμε συμφωνήσει Αν παν να μας συλλάβουν, θα πέσουμε από την Ακρόπολη Παιδευόμαστε, είναι στερεωμένη με συρματόσκοινο .Σιωπή Μονό το γέλιο της γερμανικής φρουράς ακούγεται Ένα ένα κόβουμε τα σύρματα με χέρια, με δόντια, με λύσσα! Η σημαία πέφτει.
Οι αξίες και τα σύμβολα δεν ξεθωριάζουν. Και ο Λάκης Σάντας, αυτός ο σεμνός Λευκαδίτης, που ελπίζει σε μια ιδανική, αταξική, ειρηνική κοινωνία για τα νέα παιδιά, που ονειρεύεται την παγκόσμια ειρήνη, είναι ένα σύμβολο, ένας ήρωας. Ο Λακης Σάντας τη νύχτα της 30ης Μάιου 1941- μαζί με τον Μανώλη Γλέζο - κατέβασαν τη σημαία των ναζί κατακτητών από τον Ιερό βράχο της Ακρόπολης. Οι Λευκαδίτες τον τίμησαν και τον τιμούν. Ωστόσο για τη σημερινή νεολαία είναι άγνωστος. Και είναι άγνωστος γιατί άλλαξαν τα πρότυπα μας.
Σήμερα η μισή Ελλάδα θέλει να παίξει στα τηλεπαιχνίδια και η άλλη μισή θέλει να διοριστεί στο δημόσιο αφού φανατιστεί με τις ποδοσφαιρικές ομάδες.
Δυστυχώς - και με σημαντική ευθύνη των ίδιων των γονιών - τα εθνικά μας πρότυπα είναι πλέον η τηλεόραση και μια θέση στο Δημόσιο. Είναι δεδομένο.
Με την τσίμπλα στο μάτι θαυμάζουμε τα «πρωινάδικα» και μισοκοιμισμένοι
απολαμβάνουμε τα ξενυχτάδικα. Στο ενδιάμεσο διάστημα πίνουμε και δυο τρεις φραπέδες, καπνίζουμε και δυο πακέτα τσιγάρα και ψάχνουμε μέσω των
προκηρύξεων του ΑΣΕΠ την «τρύπα» για το Δημόσιο, έχοντας κατά νου και το «μέσον» στον βουλευτή. Και μέσα σε αυτό το σκηνικό λογικό είναι να περάνει απαρατήρητος ένας ήρωας.
Είμαι τυχερός που γνώρισα το Λάκη Σάντα ο οποίος ζει κοντά μου, στο Παλαιό Φάληρο. Και είμαι τυχερός γιατί ο Λάκης Σάντας είναι ένας καταπληκτικός άνθρωπος με μια σπάνια, σπανιότατη, σεμνότητα για την εποχή μας.
Ο Λάκης (Απόστολος) Σάντας γεννήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 1922 στην Πάτρα, όπου τότε υπηρετούσε ο πατέρας του ως δημόσιος υπάλληλος. Οι γονείς του ήταν Λευκαδίτες. Λίγον καιρό μετά η οικογένεια Σάντα εγκαθίσταται στην Αθήνα. Τελειώνει το γυμνάσιο το 1940 και αμέσως μετά εισάγεται στη Νομική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών. Θα αποφοιτήσει μετά την απελευθέρωση.
Ο Λάκης (Απόστολος) Σάντας γεννήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 1922 στην Πάτρα, όπου τότε υπηρετούσε ο πατέρας του ως δημόσιος υπάλληλος. Οι γονείς του ήταν Λευκαδίτες. Λίγον καιρό μετά η οικογένεια Σάντα εγκαθίσταται στην Αθήνα. Τελειώνει το γυμνάσιο το 1940 και αμέσως μετά εισάγεται στη Νομική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών. Θα αποφοιτήσει μετά την απελευθέρωση.
Τη νύχτα της 30ής προς 31η Μαΐου 1941, θα κατεβάσει, μαζί με το φίλο του Μανόλη Γλέζο τη χιτλερική σημαία από το βράχο της Ακρόπολης. Το 1942 εντάσσεται στο ΕΑΜ και λίγο αργότερα στην ΕΠΟΝ.
Το 1943 βγαίνει στο βουνό με τον ΕΛΑΣ. Πήρε μέρος σε αρκετές μάχες στην
Αιτωλοακαρνανία, τη Φθιώτιδα και την Αττικοβοιωτία και το 1944 τραυματίστηκε. Το 1946 εξορίζεται στην Ικαρία.
Αιτωλοακαρνανία, τη Φθιώτιδα και την Αττικοβοιωτία και το 1944 τραυματίστηκε. Το 1946 εξορίζεται στην Ικαρία.
Το 1947 φυλακίζεται στην Ψυττάλεια απ' όπου το 1948 στέλνεται στην Μακρόνησο. Θα διαφύγει στην Ιταλία και θα ζητήσει πολιτικό άσυλο στον Καναδά, όπου θα ζήσει μέχρι το 1962. Το 1963 επιστρέφει στην Ελλάδα όπου έκτοτε ζει μόνιμα.
Ο ίδιος εξιστόρησε το εγχείρημα υποστολής της σημαίας και ορισμένα περιστατικά από τη δράση του στην Εθνική Αντίσταση, στον Ηλία Πετρόπουλο. Η αφήγησή του:
Όταν το Μέτωπο της Μακεδονίας έσπασε και η Μπότα των Ναζί κατέβαινε και μας πλάκωνε στο στήθος, η πρώτη μου σκέψη ήταν να φύγω με τα υποχωρούντα στρατεύματα για την Αίγυπτο για να συνεχίσω εκεί τον πόλεμο. Λογάριασα, όμως, χωρίς τα Στούκας, τα οποία δεν άφησαν ούτε καρυδότσουφλο στον Σαρωνικό κόλπο. Κι έτσι, ανάμεσα στις φλόγες και στις βόμβες των Στούκας, είδα να βυθίζονται οι ελπίδες μου για την Αίγυπτο, κι έμεινα. Μπήκαν στην Αθήνα μας μια Κυριακή κι έστησαν αμέσως την πολεμική τους σημαία σ' έναν ψηλό κοντό, πάνω στα αθάνατα μάρμαρα της Ακρόπολης. [[Κατηγορία:]]Άπειρα μάτια ελληνικά εδάκρυσαν το πρωινό εκείνο, βλέποντας το σύμβολο των Ούννων να λερώνει το μοναδικό μνημείο του πολιτισμού και της λευτεριάς, τον Παρθενώνα. Έτσι εδάκρυσαν και τα δικά μου. Μα... ύστερα τα βλέφαρά μου σφίχτηκαν κι άστραψαν από μια φλόγα που θα μπορούσε να λιώσει και ατσάλι ακόμη, κι ήταν αυτή, η φλόγα της συγκρατημένης λύσσας εναντίον τους.
Ήταν η φλόγα που μου έλεγε ότι κάτι πρέπει να τους κάνω. Κάτι μεγάλο, κάτι που να τους μαστιγώσει σε εκείνα τα αγέρωχα γουρουνίσια μούτρα τους, κάτι προσβλητικό, κάτι που να τους κάνει να κατεβάσουν εκείνα τα κρύα γαλανά, χωρίς οίκτο κτηνώδη μάτια τους. Κάτι συμβολικό που να τους χτυπήσει όλους μαζί σαν χώρα, σαν λαό, και προ παντός, σαν στρατό.
Την ίδια φλόγα είδα τότε στα μάτια πολλών φίλων μου, αλλά προ παντός τη διέκρινα και την γνώρισα στα μάτια του Μανώλη του Γλέζου, του συμμαθητή μου.
Κυτταχτήκαμε στα μάτια και χωρίς κουβέντες συνεννοηθήκαμε. Αρχίσαμε να
σκεφτόμαστε τι θα κάνομε. Εν τω μεταξύ, οι Ναζίδες είχαν αρχίσει επιχειρήσεις εναντίον της Κρήτης. Πηγαίναμε στο Φάληρο μόνοι μας και μπρος στα αφρισμένα κύματα σκεφτόμαστε τι να τους κάνομε ακούγοντας από πάνω μας τη Λουφτβάφε να μεταφέρει αλεξιπτωτιστές για την Κρήτη. Οι μέρες περνούσαν... Είχε περάσει ένας μήνας που κατέλαβαν την Αθήνα και η Κρήτη είχε λυγίσει. Πολεμούσαν ακόμη τα παλικάρια μας μαζί με τους Εγγλέζους σε μερικά σημεία.
Κυτταχτήκαμε στα μάτια και χωρίς κουβέντες συνεννοηθήκαμε. Αρχίσαμε να
σκεφτόμαστε τι θα κάνομε. Εν τω μεταξύ, οι Ναζίδες είχαν αρχίσει επιχειρήσεις εναντίον της Κρήτης. Πηγαίναμε στο Φάληρο μόνοι μας και μπρος στα αφρισμένα κύματα σκεφτόμαστε τι να τους κάνομε ακούγοντας από πάνω μας τη Λουφτβάφε να μεταφέρει αλεξιπτωτιστές για την Κρήτη. Οι μέρες περνούσαν... Είχε περάσει ένας μήνας που κατέλαβαν την Αθήνα και η Κρήτη είχε λυγίσει. Πολεμούσαν ακόμη τα παλικάρια μας μαζί με τους Εγγλέζους σε μερικά σημεία.
Κι έξαφνα ένα δειλινό που ήμαστε στο Ζάππειο και ο ήλιος έγερνε λούζοντας τον ορίζοντα με εκείνα τα χρώματα που μόνο ο αττικός ουρανός έχει, τα μάτια μας γύρισαν στον βράχο της Ακροπόλεως. Μέσα στο υπέροχο φόντο της δύσης σταθήκαμε και κυττούσαμε. Και τότε... το βλέμμα μας έπεσε πάνω στη σημαία τους που υπερήφανα κυμάτιζε ψηλά-ψηλά και η βαριά σκιά της πλάκωνε καταθλιπτικά όλη την Αθήνα, όλη την αττική γη. Να τι πρέπει να τους κάνομε!
Ήρθε η σκέψη σαν σπίθα. Να τους την πάρομε. Να την γκρεμίσομε και να την ξεσχίσομε και να πλύνομε έτσι τη βρωμιά από τον Ιερό Βράχο. Την είχαν στήσει αυτήν την ίδια την πολεμική τους σημαία οι Ναζί θριαμβευτικά ως τότε στη Βαρσοβία, στη Βιέννη, στην Αμβέρσα, στη Νορβηγία, στο Παρίσι και στο Βελιγράδι και απειλούσαν να τη στήσουν σε όλο τον κόσμο τότε. Μα εδώ είναι Ελλάδα. Είναι η μικρή χώρα που απ' αυτή ξεπετάχτηκε η φλόγα του Πολιτισμού.
Είναι η χώρα που δίνει το παράδειγμα πάντα στις κρίσιμες στιγμές της Ιστορίας. Ήταν πολύ απλό μα και πολύ Μεγάλο. Μια σημαία σήκωσε στις 25
Μαρτίου 1821 ο Παλαιών Πατρών Γερμανός, μια σημαία θα κατεβάζαμε και μεις στις 31 Μαϊου 1941. Συμβολικό το πρώτο, συμβολικό και το δεύτερο. Μια φούχτα άνθρωποι τότε απειλούσαν την Πανίσχυρη Τουρκική Αυτοκρατορία. Δυο παιδιά εμείς, θα προσβάλλαμε το φοβερό τότε Γ΄ Ράιχ. Και βάλαμε σ' ενέργεια αμέσως το σχέδιο. Πήραμε απ' την Εθνική Βιβλιοθήκη τη Μεγάλη Εγκυκλοπαίδεια και διαβάσαμε στη λέξη Ακρόπολις. Εκεί είδαμε όλες τις σπηλιές ή τρύπες που έχει ο βράχος της Ακροπόλεως από την εποχή εκείνη και καταλάβαμε ότι μόνον από ένα σπήλαιο - που είναι στο εσωτερικό του βράχου της Ακροπόλεως και λέγεται "Πανδρόσειον άντρον" και στο οποίο κατά τη Μυθολογία εκατοικούσε ο ιερός όφις της θεάς Αθηνάς και του πήγαιναν οι ιέρειες του ναού του Παρθενώνα και έτρωγε μηλόπιττες στις εορτές των Παναθηναίων- ότι μόνον απ' αυτήν την τρύπα, που έβγαινε σε ένα βάθρο δίπλα στο Ερεχθείο, θα μπορούσαμε να ανεβούμε στην Ακρόπολη χωρίς να μας δουν οι Γερμανοί φρουροί. Την άλλη μέρα κιόλας πήγαμε και ανεβήκαμε σαν επισκέπτες στην Ακρόπολη και είδαμε πού ακριβώς είναι αυτή η σπηλιά από την οποία θα ανεβαίναμε την νύκτα. Πέρασε κι αυτή η ημέρα και ήλθε η επομένη, η 30ή Μαϊου 1941. Είχαμε ακούσει το βράδυ από το ραδιόφωνο το Λονδίνο που μας είπε ότι η Κρήτη εγκατελείφθη πια. Πρωί - πρωί οι Ούννοι με τις εφημερίδες τους και με προκηρύξεις μας ανήγγειλαν γεμάτοι κομπασμό και υπερηφάνεια ότι κατέλαβαν και την τελευταία γωνιά της Ελλάδας, την ηρωική Κρήτη.
Ήρθε η σκέψη σαν σπίθα. Να τους την πάρομε. Να την γκρεμίσομε και να την ξεσχίσομε και να πλύνομε έτσι τη βρωμιά από τον Ιερό Βράχο. Την είχαν στήσει αυτήν την ίδια την πολεμική τους σημαία οι Ναζί θριαμβευτικά ως τότε στη Βαρσοβία, στη Βιέννη, στην Αμβέρσα, στη Νορβηγία, στο Παρίσι και στο Βελιγράδι και απειλούσαν να τη στήσουν σε όλο τον κόσμο τότε. Μα εδώ είναι Ελλάδα. Είναι η μικρή χώρα που απ' αυτή ξεπετάχτηκε η φλόγα του Πολιτισμού.
Είναι η χώρα που δίνει το παράδειγμα πάντα στις κρίσιμες στιγμές της Ιστορίας. Ήταν πολύ απλό μα και πολύ Μεγάλο. Μια σημαία σήκωσε στις 25
Μαρτίου 1821 ο Παλαιών Πατρών Γερμανός, μια σημαία θα κατεβάζαμε και μεις στις 31 Μαϊου 1941. Συμβολικό το πρώτο, συμβολικό και το δεύτερο. Μια φούχτα άνθρωποι τότε απειλούσαν την Πανίσχυρη Τουρκική Αυτοκρατορία. Δυο παιδιά εμείς, θα προσβάλλαμε το φοβερό τότε Γ΄ Ράιχ. Και βάλαμε σ' ενέργεια αμέσως το σχέδιο. Πήραμε απ' την Εθνική Βιβλιοθήκη τη Μεγάλη Εγκυκλοπαίδεια και διαβάσαμε στη λέξη Ακρόπολις. Εκεί είδαμε όλες τις σπηλιές ή τρύπες που έχει ο βράχος της Ακροπόλεως από την εποχή εκείνη και καταλάβαμε ότι μόνον από ένα σπήλαιο - που είναι στο εσωτερικό του βράχου της Ακροπόλεως και λέγεται "Πανδρόσειον άντρον" και στο οποίο κατά τη Μυθολογία εκατοικούσε ο ιερός όφις της θεάς Αθηνάς και του πήγαιναν οι ιέρειες του ναού του Παρθενώνα και έτρωγε μηλόπιττες στις εορτές των Παναθηναίων- ότι μόνον απ' αυτήν την τρύπα, που έβγαινε σε ένα βάθρο δίπλα στο Ερεχθείο, θα μπορούσαμε να ανεβούμε στην Ακρόπολη χωρίς να μας δουν οι Γερμανοί φρουροί. Την άλλη μέρα κιόλας πήγαμε και ανεβήκαμε σαν επισκέπτες στην Ακρόπολη και είδαμε πού ακριβώς είναι αυτή η σπηλιά από την οποία θα ανεβαίναμε την νύκτα. Πέρασε κι αυτή η ημέρα και ήλθε η επομένη, η 30ή Μαϊου 1941. Είχαμε ακούσει το βράδυ από το ραδιόφωνο το Λονδίνο που μας είπε ότι η Κρήτη εγκατελείφθη πια. Πρωί - πρωί οι Ούννοι με τις εφημερίδες τους και με προκηρύξεις μας ανήγγειλαν γεμάτοι κομπασμό και υπερηφάνεια ότι κατέλαβαν και την τελευταία γωνιά της Ελλάδας, την ηρωική Κρήτη.
Δεν ξέρω τι ήταν εκείνο που ένιωθα, μα μου φαίνεται πως ήταν ένα παράπονο μαζί με δυνατό πυρετό. Περίμενα μ' αγωνία να βραδιάσει.
Επιτέλους βράδιασε. Συναντηθήκαμε με τον Μανώλη και ξεκινήσαμε. Όπλα δεν είχαμε τότε. Είχα πάρει μαζί μου μόνον ένα φαναράκι ηλεκτρικό κι ένα μαχαιράκι. Φτάσαμε. Κάναμε μια βόλτα στα Προπύλαια μέχρι να φτάσει η ώρα 9: 30 μ.μ. Τότε είδαμε τους Γερμαναράδες να είναι μαζεμένοι μέσα στο δωμάτιο της εισόδου και να πίνουν κρασί και μπίρες, έχοντας και μερικές κακές Ελληνίδες, απ' αυτές που πουλάν τον έρωτά τους στα Προπύλαια που είχαν το Φρουραρχείο. Ακούγαμε από μακριά τα κτηνώδη χάχανά τους και τα τραγούδια τους και σφίγγαμε ακόμη περισσότερο τα δόντια μας. Όταν έφτασε η ώρα, κυτταχθήκαμε. Ίσως να μην ξαναβλέπαμε τον ήλιο ν' ανατέλλει. Είναι αλήθεια ότι νιώθαμε ένα δυνατό χτυποκάρδι μα αυτό δεν ακουγόταν παραέξω. Τα στήθη μας τα ελληνικά το πνίγανε. Είναι γλυκός ο θάνατος όταν πεθαίνεις για τα ιδανικά σου.
Σ' αυτές τις στιγμές δεν έχεις παρά να θυμηθείς την Ιστορία. Να θυμηθείς τον
Λεωνίδα στις Θερμοπύλες, να θυμηθείς τον Αθανάσιο Διάκο ή το Μεσολόγγι ή τον πόλεμο της Αλβανίας κι είσαι εντάξει. Σφίξαμε τα χέρια, πηδήξαμε τα σύρματα, μπήκαμε ανάμεσα στα δέντρα. Συρθήκαμε με την κοιλιά και φτάσαμε στη σπηλιά.
Μπήκαμε μέσα ψηλαφητά κρατώντας και την αναπνοή μας ακόμη. Αρχίσαμε να σκαρφαλώνομε ως τα μαδέρια της σκαλωσιάς που είχαν φτιάξει οι αρχαιολόγοι για ανασκαφές. Κάτω μας το βάραθρο άνοιγε το μαύρο του στόμα να μας καταπιεί στο πρώτο ξεγλίστρημα. 40 μέτρα κάτω κατέβαινε η σπηλιά και κατόπιν ανοιγότανε το χείλος ενός ξεροπήγαδου, άλλα καμιά δεκαριά μέτρα. Σιγά-σιγά σκαρφαλώσαμε και κάνοντας μια τελευταία έλξη βγήκαμε στο επάνω βάθρο.
Ανεβήκαμε μερικά μαρμάρινα σκαλιά και σηκώσαμε τα κεφάλια μας να δούμε. Ήταν ένα τέταρτο το φεγγάρι. Και καθώς το ασημένιο του φως έλουζε τα ιερά εκείνα μνημεία του άπαντου της Τέχνης και της Ομορφιάς, νιώσαμε μέσα μας ν' ατσαλώνομε. Είδαμε με τα μάτια της ψυχής μας τους αθάνατους προγόνους μας να στέκονται σιωπηλοί και μεγαλοπρεπείς μες στις χλαμύδες τους τριγύρω μας και να μας κυττάνε ερωτηματικά αν θα κάνομε το καθήκον μας ή όχι. Αν και δεν πολυπιστεύω στο μοιραίο, εν τούτοις εκείνες τις στιγμές νομίζω ότι το μοιραίο της φυλής μας έριξε τον κλήρο σε μας... Προχωρήσαμε συρτά με την κοιλιά. Μας χώριζαν περίπου 50-60 μέτρα απ' τον κοντό που είχαν τη σημαία τους. Χωριστήκαμε και πηγαίναμε ανάμεσα στα μάρμαρα, πετώντας κάθε τόσο πέτρες μήπως ήταν κανένας Γερμανός σκοπός κρυμμένος. Όταν φτάσαμε κοντά στον κοντό είδαμε την ξύλινη σκοπιά τους.
Λεωνίδα στις Θερμοπύλες, να θυμηθείς τον Αθανάσιο Διάκο ή το Μεσολόγγι ή τον πόλεμο της Αλβανίας κι είσαι εντάξει. Σφίξαμε τα χέρια, πηδήξαμε τα σύρματα, μπήκαμε ανάμεσα στα δέντρα. Συρθήκαμε με την κοιλιά και φτάσαμε στη σπηλιά.
Μπήκαμε μέσα ψηλαφητά κρατώντας και την αναπνοή μας ακόμη. Αρχίσαμε να σκαρφαλώνομε ως τα μαδέρια της σκαλωσιάς που είχαν φτιάξει οι αρχαιολόγοι για ανασκαφές. Κάτω μας το βάραθρο άνοιγε το μαύρο του στόμα να μας καταπιεί στο πρώτο ξεγλίστρημα. 40 μέτρα κάτω κατέβαινε η σπηλιά και κατόπιν ανοιγότανε το χείλος ενός ξεροπήγαδου, άλλα καμιά δεκαριά μέτρα. Σιγά-σιγά σκαρφαλώσαμε και κάνοντας μια τελευταία έλξη βγήκαμε στο επάνω βάθρο.
Ανεβήκαμε μερικά μαρμάρινα σκαλιά και σηκώσαμε τα κεφάλια μας να δούμε. Ήταν ένα τέταρτο το φεγγάρι. Και καθώς το ασημένιο του φως έλουζε τα ιερά εκείνα μνημεία του άπαντου της Τέχνης και της Ομορφιάς, νιώσαμε μέσα μας ν' ατσαλώνομε. Είδαμε με τα μάτια της ψυχής μας τους αθάνατους προγόνους μας να στέκονται σιωπηλοί και μεγαλοπρεπείς μες στις χλαμύδες τους τριγύρω μας και να μας κυττάνε ερωτηματικά αν θα κάνομε το καθήκον μας ή όχι. Αν και δεν πολυπιστεύω στο μοιραίο, εν τούτοις εκείνες τις στιγμές νομίζω ότι το μοιραίο της φυλής μας έριξε τον κλήρο σε μας... Προχωρήσαμε συρτά με την κοιλιά. Μας χώριζαν περίπου 50-60 μέτρα απ' τον κοντό που είχαν τη σημαία τους. Χωριστήκαμε και πηγαίναμε ανάμεσα στα μάρμαρα, πετώντας κάθε τόσο πέτρες μήπως ήταν κανένας Γερμανός σκοπός κρυμμένος. Όταν φτάσαμε κοντά στον κοντό είδαμε την ξύλινη σκοπιά τους.
Πετάξαμε πάλι κάνα-δυο πέτρες κι όταν είδαμε ότι ήταν ησυχία σηκωθήκαμε
όρθιοι και προχωρήσαμε θαρρετά. Φτάσαμε στον κοντό. Ψηλά κυμάτιζε η σημαία τους. Λύσαμε το συρματόσχοινο και τραβήξαμε για να την κατεβάσομε. Μα την είχαν μπλέξει στην κάτω άκρη της με τα τρία συρματόσχοινα που στήριζαν τον κοντό. Κρεμόμαστε κι οι δυο για να την κατεβάσομε μα δεν κατέβαινε. Αρχίσαμε τότε με τη σειρά να σκαρφαλώνομε στον σιδερένιο κοντό για να την φτάσομε και να την κόψομε. Μα ήταν 20 μέτρα ο κοντός και λείος κι ήταν αδύνατο να την φτάσομε. Κουρασμένοι σταθήκαμε για λίγο κι απογοητευτήκαμε, σκεφτόμαστε τι να κάνομε.
όρθιοι και προχωρήσαμε θαρρετά. Φτάσαμε στον κοντό. Ψηλά κυμάτιζε η σημαία τους. Λύσαμε το συρματόσχοινο και τραβήξαμε για να την κατεβάσομε. Μα την είχαν μπλέξει στην κάτω άκρη της με τα τρία συρματόσχοινα που στήριζαν τον κοντό. Κρεμόμαστε κι οι δυο για να την κατεβάσομε μα δεν κατέβαινε. Αρχίσαμε τότε με τη σειρά να σκαρφαλώνομε στον σιδερένιο κοντό για να την φτάσομε και να την κόψομε. Μα ήταν 20 μέτρα ο κοντός και λείος κι ήταν αδύνατο να την φτάσομε. Κουρασμένοι σταθήκαμε για λίγο κι απογοητευτήκαμε, σκεφτόμαστε τι να κάνομε.
Να φύγομε χωρίς την σημαία τους λάφυρο, δεν το σκεφτήκαμε ούτε μια στιγμή.
Και μέσα στην ένταση της σκέψης μας, σκεφτήκαμε ότι πρέπει να σπάσομε τα τρία συρματόσχοινα για να μπορέσομε να την κατεβάσουμε.
Και μέσα στην ένταση της σκέψης μας, σκεφτήκαμε ότι πρέπει να σπάσομε τα τρία συρματόσχοινα για να μπορέσομε να την κατεβάσουμε.
Αρχίσαμε τότε με τα χέρια μας, με τα δόντια μας, με ότι μπορούσαμε να προσπαθούμε να ξεκολλήσομε τα συρματόσχοινα απ' τους σκουριασμένους χαλκάδες με τους οποίους κρατιότανε στα γύρω μάρμαρα. Κραυγή ενθουσιασμού μου ξέφυγε όταν έσπασε το πρώτο. Κατόπιν έσπασε και το δεύτερο και μετά το τρίτο.
Αμέσως ξεμπλέξαμε τα συρματόσχοινα και τότε το μισητό σύμβολο του φασισμού κατέβηκε. Ήταν μια τεράστια σημαία 4 μ. μήκος και 2 μ. πλάτος. Στη μέση είχε τον αγκυλωτό σταυρό και στην απάνω άκρη τον γοτθικό πολεμικό σταυρό του Κάιζερ.
Με λύσσα την κόψαμε απ' το συρματόσχοινο και την μαζέψαμε. Σχίσαμε από ένα κομμάτι απ' τον αγκυλωτό σταυρό. Την υπόλοιπη την κάναμε ρολό και την πήραμε. Είχαν περάσει τρεις ώρες περίπου απ' την ώρα που είχαμε ξεκινήσει. Το φεγγάρι είχε χαθεί και μαζί μ' αυτό και οι οπτασίες των προγόνων μας ευχαριστημένες. Ο αέρας μας δρόσιζε τα φλογισμένα πρόσωπά μας και μας έφερνε από μακριά τα χάχανα των Γερμαναράδων.
Αμέσως ξεμπλέξαμε τα συρματόσχοινα και τότε το μισητό σύμβολο του φασισμού κατέβηκε. Ήταν μια τεράστια σημαία 4 μ. μήκος και 2 μ. πλάτος. Στη μέση είχε τον αγκυλωτό σταυρό και στην απάνω άκρη τον γοτθικό πολεμικό σταυρό του Κάιζερ.
Με λύσσα την κόψαμε απ' το συρματόσχοινο και την μαζέψαμε. Σχίσαμε από ένα κομμάτι απ' τον αγκυλωτό σταυρό. Την υπόλοιπη την κάναμε ρολό και την πήραμε. Είχαν περάσει τρεις ώρες περίπου απ' την ώρα που είχαμε ξεκινήσει. Το φεγγάρι είχε χαθεί και μαζί μ' αυτό και οι οπτασίες των προγόνων μας ευχαριστημένες. Ο αέρας μας δρόσιζε τα φλογισμένα πρόσωπά μας και μας έφερνε από μακριά τα χάχανα των Γερμαναράδων.
"Α! τώρα γελάστε και τραγουδήστε όσο θέλετε, αύριο το πρωί θα τα πούμε", σκέφτηκα.
Κατεβήκαμε απ' το ίδιο μέρος. Για να την πάρομε μαζί μας ήταν αδύνατο γιατί η ώρα της κυκλοφορίας είχε περάσει. Τότε αποφασίσαμε να την κρύψομε μέσα στην ίδια τη σπηλιά, κάτω στο ξεροπήγαδο. Κατεβήκαμε σιγά-σιγά μέχρι κάτω, φτάσαμε στο χείλος του ξεροπήγαδου και την πετάξαμε όπως ήταν, τυλιγμένη σε μπόγο, μέσα. Ακούσαμε τον γδούπο της και ησυχάσαμε.
Κατεβήκαμε απ' το ίδιο μέρος. Για να την πάρομε μαζί μας ήταν αδύνατο γιατί η ώρα της κυκλοφορίας είχε περάσει. Τότε αποφασίσαμε να την κρύψομε μέσα στην ίδια τη σπηλιά, κάτω στο ξεροπήγαδο. Κατεβήκαμε σιγά-σιγά μέχρι κάτω, φτάσαμε στο χείλος του ξεροπήγαδου και την πετάξαμε όπως ήταν, τυλιγμένη σε μπόγο, μέσα. Ακούσαμε τον γδούπο της και ησυχάσαμε.
Ανεβήκαμε πάλι και φύγαμε σιγά-σιγά, πηγαίνοντας σύρριζα στον τοίχο και προσέχοντας μην συναντήσομε καμιά γερμανική περίπολο. Όταν βρισκόμαστε στη μέση του δρόμου περίπου για το σπίτι μας, μας σταμάτησε ξαφνικά με το πιστόλι στο χέρι ένας Έλληνας αστυνομικός που φύλαγε σκοπός σ' ένα δημόσιο ταμείο.
Στην αρχή σκέφτηκα να του επιτεθώ με το μαχαίρι. Αλλά κατόπιν του μιλήσαμε ευγενικά και θαρρετά και του δώσαμε να καταλάβει ότι πρέπει να μας αφήσει να πάμε στα σπίτια μας, χωρίς βέβαια να του πούμε τίποτε για το ζήτημα της σημαίας. Μας άφησε και φύγαμε. Φτάσαμε στα σπίτια μας, καθησυχάσαμε τους δικούς μας που μας περίμεναν γεμάτοι αγωνία μη ξέροντας πού είμαστε. Όλη τη νύχτα δεν κοιμήθηκα. Και το πρωί ήρθε ο Μανώλης και ανεβήκαμε στην ταράτσα του σπιτιού μου και κυττούσαμε την Ακρόπολη. Μέχρι τις 11 π.μ. της 31ης δεν υπήρχε σημαία στην Ακρόπολη, όπως έλεγαν τώρα τελευταία μετά την απελευθέρωση οι Έλληνες φύλακες της Ακροπόλεως. Η γερμανική φρουρά, η οποία αποτελείτο από 20 περίπου άνδρες τα είχε χάσει. Πανικός στο γερμανικό στρατηγείο. Οι κούρσες πήγαιναν κι έρχονταν. Τι έγινε η πολεμική τους σημαία; Ποιος τόλμησε να την πειράξει; Κατά τις 11 η ώρα πήγαν και βάλαν μιαν άλλη στη θέση της πιο μικρή. Με τις απογευματινές εφημερίδες βροντοφωνήσανε οι Γερμανοί τις κυρώσεις τους. Επήραν τα δακτυλικά μας αποτυπώματα απ' το σιδερένιο κοντό και μας κατεδίκασαν ερήμην σε θάνατο (γιατί δεν μας ήξεραν). Επίσης όλους τους τυχόν συνενόχους μας. Μας επικήρυξαν και με χρηματικό ποσόν. Περιόρισαν τις ώρες κυκλοφορίας των πολιτών και απέλυσαν τον αρχηγό της Αστυνομίας και τους διοικητές των αστυνομικών τμημάτων της περιφερείας της Ακροπόλεως.
Στην αρχή σκέφτηκα να του επιτεθώ με το μαχαίρι. Αλλά κατόπιν του μιλήσαμε ευγενικά και θαρρετά και του δώσαμε να καταλάβει ότι πρέπει να μας αφήσει να πάμε στα σπίτια μας, χωρίς βέβαια να του πούμε τίποτε για το ζήτημα της σημαίας. Μας άφησε και φύγαμε. Φτάσαμε στα σπίτια μας, καθησυχάσαμε τους δικούς μας που μας περίμεναν γεμάτοι αγωνία μη ξέροντας πού είμαστε. Όλη τη νύχτα δεν κοιμήθηκα. Και το πρωί ήρθε ο Μανώλης και ανεβήκαμε στην ταράτσα του σπιτιού μου και κυττούσαμε την Ακρόπολη. Μέχρι τις 11 π.μ. της 31ης δεν υπήρχε σημαία στην Ακρόπολη, όπως έλεγαν τώρα τελευταία μετά την απελευθέρωση οι Έλληνες φύλακες της Ακροπόλεως. Η γερμανική φρουρά, η οποία αποτελείτο από 20 περίπου άνδρες τα είχε χάσει. Πανικός στο γερμανικό στρατηγείο. Οι κούρσες πήγαιναν κι έρχονταν. Τι έγινε η πολεμική τους σημαία; Ποιος τόλμησε να την πειράξει; Κατά τις 11 η ώρα πήγαν και βάλαν μιαν άλλη στη θέση της πιο μικρή. Με τις απογευματινές εφημερίδες βροντοφωνήσανε οι Γερμανοί τις κυρώσεις τους. Επήραν τα δακτυλικά μας αποτυπώματα απ' το σιδερένιο κοντό και μας κατεδίκασαν ερήμην σε θάνατο (γιατί δεν μας ήξεραν). Επίσης όλους τους τυχόν συνενόχους μας. Μας επικήρυξαν και με χρηματικό ποσόν. Περιόρισαν τις ώρες κυκλοφορίας των πολιτών και απέλυσαν τον αρχηγό της Αστυνομίας και τους διοικητές των αστυνομικών τμημάτων της περιφερείας της Ακροπόλεως.
Επίσης, συνέλαβαν όλους τους Έλληνες φύλακες της Ακροπόλεως, τους οποίους όμως άφησαν ελευθέρους, αφού εξήτασαν τα αποτυπώματά τους και τους ανέκριναν, τη δε φρουρά τους την κατεδίκασαν εις θάνατον και την εξετέλεσαν.
Μου φαίνεται πως βγήκαν λίγο ξινά τα γλέντια των Γερμαναράδων για τον θρίαμβο της Κρήτης... Αμέσως το νέο διαδόθηκε σαν αστραπή στην Αθήνα και στον Πειραιά και στα περίχωρα και κατόπιν σ' ολόκληρη την Ελλάδα. Το Λονδίνο και το Κάιρο την άλλη νύχτα έπλεξαν εγκώμια γι' αυτό. Θα νιώσω άραγε άλλη φορά τα συναισθήματα που ένιωθα εκείνες τις ημέρες όταν άκουγα γύρω μου παντού τους Έλληνες με υπερηφάνεια και ειρωνεία για τους Γερμανούς να μιλούν για το γεγονός αυτό και να το χαρακτηρίζουν παίρνοντας κουράγιο για την αρχή του καινούργιου πολέμου της Αντίστασης. Έβλεπες παντού τον κόσμο να έχει αναθαρρήσει, να περπατάει με ψηλά το κεφάλι, ξέροντας καλά ότι το καζάνι άρχισε να βράζει πάλι...
Μου φαίνεται πως βγήκαν λίγο ξινά τα γλέντια των Γερμαναράδων για τον θρίαμβο της Κρήτης... Αμέσως το νέο διαδόθηκε σαν αστραπή στην Αθήνα και στον Πειραιά και στα περίχωρα και κατόπιν σ' ολόκληρη την Ελλάδα. Το Λονδίνο και το Κάιρο την άλλη νύχτα έπλεξαν εγκώμια γι' αυτό. Θα νιώσω άραγε άλλη φορά τα συναισθήματα που ένιωθα εκείνες τις ημέρες όταν άκουγα γύρω μου παντού τους Έλληνες με υπερηφάνεια και ειρωνεία για τους Γερμανούς να μιλούν για το γεγονός αυτό και να το χαρακτηρίζουν παίρνοντας κουράγιο για την αρχή του καινούργιου πολέμου της Αντίστασης. Έβλεπες παντού τον κόσμο να έχει αναθαρρήσει, να περπατάει με ψηλά το κεφάλι, ξέροντας καλά ότι το καζάνι άρχισε να βράζει πάλι...
Κι έτσι αρχίσαμε... Έπειτα από 8 μήνες επεχείρησα να φύγω για την Αίγυπτο για να πάω στο στρατό να πολεμήσω πιο ενεργά μαζί με τον Μανώλη κι έναν άλλο φίλο μου. Μα, ύστερα από προδοσία, μας έπιασαν οι Γερμανοί. Μας κλείσανε στις φυλακές. Τότε σκέφτηκα ότι αν είχαν την εξυπνάδα να παραβάλουν τα δακτυλικά μας αποτυπώματα, όλα θα τελείωναν. Αλλά δεν την είχαν, ευτυχώς.
Καθίσαμε λίγο καιρό στις φυλακές, όπου περάσαμε του κόσμου τα μαρτύρια (ξύλο ανηλεές, σχεδόν καθημερινό ντους με κρύο νερό έξω στο κρύο κ.λπ.) αποτέλεσμα των οποίων ήταν, όταν βγήκαμε, τον Απρίλιο του 1942, ύστερα από μια αμνηστία που μας συμπεριέλαβε, να κάνει ο Μανώλης αιμοπτύσεις.
Καθίσαμε λίγο καιρό στις φυλακές, όπου περάσαμε του κόσμου τα μαρτύρια (ξύλο ανηλεές, σχεδόν καθημερινό ντους με κρύο νερό έξω στο κρύο κ.λπ.) αποτέλεσμα των οποίων ήταν, όταν βγήκαμε, τον Απρίλιο του 1942, ύστερα από μια αμνηστία που μας συμπεριέλαβε, να κάνει ο Μανώλης αιμοπτύσεις.
Μόλις βγήκα απ' τη φυλακή, οργανώθηκα για καλά (είχε φουντώσει εν τω μεταξύ το κίνημα της Αντίστασης) κι άρχισα να κάνω χίλιες δουλειές, από κόλλημα προκηρύξεων και γράψιμο στον τοίχο μέχρι μεταφορά όπλων και κρύψιμο, κ.λπ.
Το καλοκαίρι του 1943 ένας χαφιές των SS με γνώρισε και κουβάλησε αρκετούς από δαύτους να με πιάσουν. Τους ξέφυγα, πηδώντας από παράθυρο σε παράθυρο κι από ταράτσα σε ταράτσα και βγήκα στο Αντάρτικο. Κατατάχθηκα στον ΕΛΑΣ και τοποθετήθηκα στην περιοχή Στερεάς Ελλάδας.
Το καλοκαίρι του 1943 ένας χαφιές των SS με γνώρισε και κουβάλησε αρκετούς από δαύτους να με πιάσουν. Τους ξέφυγα, πηδώντας από παράθυρο σε παράθυρο κι από ταράτσα σε ταράτσα και βγήκα στο Αντάρτικο. Κατατάχθηκα στον ΕΛΑΣ και τοποθετήθηκα στην περιοχή Στερεάς Ελλάδας.
Έλαβα μέρος σε αρκετές μάχες παρατάξεως με τους Ναζίδες και σε πολλές
επικίνδυνες αποστολές και κανόνισα αρκετούς Γερμαναράδες, τραυματίσθηκα δε στο στήθος (αριστερό ημιθωράκιο) πάνω απ' την καρδιά από τυφλό τραύμα βλήματος. Αυτή είναι η ιστορία της συμβολής μου στην Αντίσταση του λαού μας, εν ολίγοις. Αλλά τι είναι αυτά μπροστά στις υπέροχες σελίδες που έχει γράψει ο ελληνικός λαός στα τέσσερα αυτά χρόνια της πιο σκληρής και ανελέητης σκλαβιάς που είδαμε ποτέ στην ιστορία μας; Κάθε πέτρα και κάθε αγκωνάρι, κάθε δρόμος και κάθε πεζοδρόμιο έχει γραμμένη απάνω μιαν ολόκληρη ιστορία ηρωισμού και θυσίας για τη λευτεριά, από γνωστούς και άγνωστους μάρτυρες, ήρωες, ατσάλινες ψυχές που ξεψυχάγανε προφέροντας το όνομα της Ελλάδας μας και φωνάζοντας "Θάνατος στο φασισμό!!!". Οι βουνοκορφές πάλι κι οι ράχες αχολογούν ακόμα απ' τις κλαγγές των όπλων κι απ' τα κλέφτικα τραγούδια των λεβεντόκορμων ανταρτών και κάθε στενό και κάθε ρέμα μυρίζει μπαρούτι ακόμη, απ' αυτό που έπεφτε καυτό απάνω στις γερμανικές φάλαγγες κάθε λεπτό και τους έκανε, αλαφιασμένοι να μην ξέρουν από πού να φυλαχτούν, νομίζοντας ότι κάθε πεύκο και κάθε έλατο ζωντανεύει κι είναι αντάρτης, εκδικητής!!! Θα μπορούσα να λέω ολόκληρα μερόνυχτα, είναι τόσα πολλά.
_______________________
Δείτε την ταινία μικρού μήκους της Ε.Ρ.Τ. για το κατέβασμα της σημαίας του στρατού κατοχής από την Ακρόπολη των Αθηνών την 30η Μαϊου 1941.
Δείτε την εκπομπή του Φρέντυ Γερμανού στην Ε.Ρ.Τ.
για τον Μανώλη Γλέζο και τον Λάκη Σάντα.
___________________________________________________________
του Γιώργου Μαλούχου
δημοσιεύθηκε στην εφημερίδα "Βήμα" στις 20 Απριλίου 2011
δημοσιεύθηκε στην εφημερίδα "Βήμα" στις 20 Απριλίου 2011
Ηταν σαν σήμερα πριν από εβδομήντα χρόνια, όταν η Βέρμαχτ έμπαινε στην Αθήνα. Ηταν Κυριακή του Θωμά, η μέρα που ενέπνευσε και τη «Συννεφιασμένη Κυριακή», το μέγα τραγούδι του Τσιτσάνη.
Κυρίως όμως, ήταν η μέρα που ο εύζωνας φρουρός της Ακρόπολης, ο Κωνσταντίνος Κουκίδης, δεν άντεξε την ντροπή της παράδοσης του Ιερού Βράχου στο Γερμανό αξιωματικό και, αντί να υποστείλει την ελληνική σημαία για να την παραδώσει όπως τον είχε διατάξει ο διοικητής της γερμανικής φρουράς, την υποστέλλει τραγουδώντας μόνος μπροστά τους Γερμανούς τον εθνικό ύμνο, τυλίγει με αυτή το σώμα του και αυτοκτονεί πέφτοντας στο κενό.
Σήμερα, ποιος θυμάται τον Κουκίδη; Κανείς φυσικά. Και γιατί να τον θυμόμαστε; Επειδή πήγε και αυτοκτόνησε για να μην παραδώσει την Ακρόπολη στο βάρβαρο κατακτητή; Αστεία πράγματα…
****************************
Το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη αποκαλύπτει τα μυστικά του
·
Στις 28 Οκτωβρίου του 1998, η Ελλάδα έχασε την ευκαιρία να αποκτήσει σε δημοπρασία στη Νέα Υόρκη το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη - το αγόρασε ανώνυμος συλλέκτης για 2.000.000 δολάρια.
Αυτό που έχασε, δυστυχώς, η ελληνική Πολιτεία, το κέρδισε ευτυχώς η ανθρωπότητα. Το σημαντικότερο επιστημονικό χειρόγραφο που πουλήθηκε ποτέ σε δημοπρασία αποκαλύπτει 13 χρόνια αργότερα, χάρη στη σύγχρονη τεχνολογία και την αφοσίωση των ερευνητών ενός αμερικανικού μουσείου, τα μυστικά της μεγαλύτερης μαθηματικής ιδιοφυΐας του αρχαίου κόσμου.
«Lost and Found: The Secrets of Archimedes» είναι ο τίτλος της έκθεσης που εγκαινιάζεται στις 16 Οκτωβρίου στο Μουσείο Τέχνης Walters της Βαλτιμόρης. Με φωτογραφίες, κείμενα και πολυμέσα, η έκθεση αφηγείται τη συναρπαστική περιπέτεια του σπάνιου χειρογράφου και το τεράστιο πρόγραμμα της συντήρησης, ψηφιακής επεξεργασίας και μελέτης του, που αποδεικνύει ότι ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τα μαθηματικά του απείρου, τη μαθηματική φυσική και τη συνδυαστική - κλάδος των μαθηματικών που χρησιμοποιείται στην πληροφορική.
Το 1999, ο ανώνυμος συλλέκτης που απέκτησε το Παλίμψηστο το παραχώρησε στο Μουσείο Walters και μια ομάδα ερευνητών ξεκίνησε την προσπάθεια να διαβάσει το σβησμένα κείμενα στο παλαιότερο σωζόμενο αντίγραφο του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, φυσικού, εφευρέτη, μηχανικού και αστρονόμου, που κρύβει πίσω του μία απίστευτη περιπέτεια: το 10ο αιώνα, στην Κωνσταντινούπολη, ένας ανώνυμος γραφέας αντέγραψε πραγματεία του Αρχιμήδη πάνω σε περγαμηνή, κρατώντας τα ελληνικά του πρωτοτύπου. Το 13ο αιώνα, ένας μοναχός έσβησε το κείμενο του Αρχιμήδη, έκοψε τις σελίδες, περιέστρεψε τα φύλλα κατά 90 μοίρες και τα δίπλωσε στη μέση. Η περγαμηνή στη συνέχεια «ανακυκλώθηκε» μαζί με περγαμηνές από άλλα βιβλία, για να δημιουργηθεί ένα προσευχητάριο (το αποτέλεσμα της διαδικασίας αυτής ονομάζεται παλίμψηστο).
Όταν το Μουσείο Walters παρέλαβε το χειρόγραφο, πολλοί πίστευαν ότι δεν μπορούσε να ανακτηθεί τίποτε από αυτό. «Ήταν σε φρικτή κατάσταση, έχοντας το βάρος των χιλίων χρόνων του, των μετακινήσεων και της κακής χρήσης», δήλωσε ο διευθυντής του προγράμματος «Αρχιμήδης» και επιμελητής χειρογράφων και σπάνιων βιβλίων του Walters, Γουίλ Νόελ.
Τέσσερα χρόνια χρειάστηκαν οι συντηρητές για να διαλύσουν το βιβλίο, λόγω της εύθραυστης κατάστασης της περγαμηνής, που είχε καταστραφεί από μούχλα, ενώ κάποια σημεία είχαν σκεπαστεί με σύγχρονη συνθετική κόλλα! «Κατέγραψα τα πάντα και έσωσα ακόμη και τα πιο μικροσκοπικά κομμάτια του χειρογράφου, φλούδες χρώματος, νήματα, σταθεροποίησα τη μελάνη με ζελατίνη, έκανα αμέτρητες επιδιορθώσεις με γιαπωνέζικο χαρτί», εξηγεί η Αμπιγκέιλ Κουάντ, επικεφαλής του τμήματος συντήρησης χειρογράφων του αμερικανικού μουσείου.
Το 2000, μια ομάδα ερευνητών άρχισε την ανάκτηση των σβησμένων κειμένων. Χρησιμοποίησαν τεχνικές απεικόνισης σε διαφορετικά μήκη κύματος του υπέρυθρου, ορατού και υπεριώδους φωτός (πολυφασματική απεικόνιση). Χάρη σε διαφορετικές μεθόδους ψηφιακής επεξεργασίας, το κείμενο αποκαλύφθηκε στα μάτια των ερευνητών με τρόπο που κανείς δεν το είχε δει για χίλια χρόνια. Ένα μέρος του βιβλίου που είχε σκεπαστεί με ρύπους διαβάστηκε με ακτίνες Χ στο εργαστήριο Stanford Synchrotron Radiation Lightsource (SSRL).
Ο Αρχιμήδης, στην πραγματεία του «Περί μεθόδου των θεωρημάτων μηχανικής» ασχολείται με την έννοια του απόλυτου απείρου και το Παλίμψηστο περιέχει το μόνο σωζόμενο αντίγραφο του σημαντικού συγγράμματος. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός ισχυρίζεται ότι δύο διαφορετικά σύνολα γραμμών είναι ίσα σε πλήθος, αν και είναι σαφώς κατανοητό ότι είναι άπειρα. Η προσέγγιση αυτή είναι όμοια με έργα του 16ου και του 17ου αιώνα, που οδήγησαν στην επινόηση του Λογισμού.
Επίσης, μόνο στο Παλίμψηστο βρέθηκε το «Στομάχιον» του Αρχιμήδη, η αρχαιότερη πραγματεία περί συνδυαστικής. Θεωρείται ότι ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να ανακαλύψει με πόσους τρόπους θα μπορούσε να ανασυνθέτει 14 τμήματα και να κάνει ένα τέλειο τετράγωνο. Η απάντηση είναι: 17.152 συνδυασμούς. Η συνδυαστική θεωρείται ζωτικής σημασίας στην Πληροφορική.
Εκτός από τα έργα του Αρχιμήδη, στο Παλίμψηστο βρέθηκαν επίσης κρυμμένα ένα σχόλιο πάνω στις «Κατηγορίες» του Αριστοτέλη, καθώς και κείμενα του Υπερείδη, Αθηναίου ρήτορα του «χρυσού αιώνα».
Όταν το Παλίμψηστο οδηγήθηκε στο SSRL, αποκαλύφθηκε στην πρώτη σελίδα και η ταυτότητα του γραφέα που έσβησε τα γραπτά του Αρχιμήδη. Το όνομά του ήταν Ιωάννης Μύρωνας και τελείωσε τη μεταγραφή των προσευχών στις 14 Απριλίου 1229, στην Ιερουσαλήμ.
_______________________________________________________________________
Το Παλίμψηστο Χειρόγραφο του Αρχιμήδη
Κώστας Γαβρόγλου, Δημήτρης Διαλέτης\ Γιάννης Χριστιανίδης
Καθηγητές ιστορίας των επιστημών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Επιπλέον, ανήκουν στο δυναμικό του Εργαστηρίου Ηλεκτρονικής Επεξεργασίας Ιστορικών Αρχείων του Πανεπιστημίου Αθηνών.
Καθηγητές ιστορίας των επιστημών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Επιπλέον, ανήκουν στο δυναμικό του Εργαστηρίου Ηλεκτρονικής Επεξεργασίας Ιστορικών Αρχείων του Πανεπιστημίου Αθηνών.
Η ιστορία των κειμένων του Αρχιμήδη ως τα τέλη του 19ου αιώνα
Στον Αρχιμήδη (περ. 287-212 π.Χ.) αποδίδονται περισσότερα από τριάντα έργα. Από αυτά σώζονται, πλήρως ή εν μέρει, περίπου τα μισά. Από τα σωζόμενα έργα, μερικά βρέθηκαν μόνο σε αραβικές ή λατινικές μεταφράσεις που έγιναν στη διάρκεια του μεσαίωνα, ενώ και εκείνα ακόμη που υπήρχαν στην ελληνική γλώσσα δεν σώζονται όλα στην αρχική σικελική (δωρική) διάλεκτο στην οποία έγραφε ο Αρχιμήδης. Τα παραπάνω στοιχεία είναι ενδεικτικά της δαιδαλώδους διαδρομής που ακολούθησε στην πορεία των αιώνων η παράδοση των χειρογράφων του Αρχιμήδη, μέχρι να φτάσουμε στην τρίτομη έκδοση των Απάντων του και των αρχαίων ελληνικών σχολίων επί των έργων του, στα 1910-1915, από τον Johann Ludwig Heiberg (1854-1928), καθηγητή των Ελληνικών στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης (|Archimedis opera omnia, cum commentariis Eutocii|, Λειψία, Teubner). Σήμερα, έναν αιώνα μετά την έκδοση του Heiberg, γράφεται ένα νέο, πλούσιο κεφάλαιο σε αυτήν την πολυκύμαντη ιστορία, με την ανάγνωση νέων κειμένων του Αρχιμήδη, τα οποία έρχονται για πρώτη φορά στο φως μετά από 1000 χρόνια. Μία πρώτη σημαντική μορφή στην ιστορία της παράδοσης των έργων του Αρχιμήδη υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος μ.Χ. αιώνας). Ο Ευτόκιος αναζήτησε χειρόγραφα των έργων του Αρχιμήδη, αποκατέστησε το κείμενο όπου αυτό είχε υποστεί φθορές και σχολίασε τρία έργα. Το αρχείο του Ευτόκιου περιήλθε, γύρω στο 550 μ.Χ., στα χέρια του Ισίδωρου του Μιλήσιου, του ενός από τους αρχιτέκτονες της Αγίας Σοφίας, και μέσω αυτού μεταφέρθηκε στην Κωνσταντινούπολη.
Τίποτα δεν είναι γνωστό για την τύχη των έργων του Αρχιμήδη κατά την περίοδο από τον θάνατο του Ευτόκιου ως τα μέσα του 9ου αιώνα. Τότε, στα τέλη της δεκαετίας του 850, ένας πολυμαθής λόγιος και συνάμα πρακτικός άνθρωπος, ο Λέων ο γεωμέτρης, ορίστηκε διευθυντής της σχολής που ίδρυσε ο καίσαρας Βάρδας μέσα στα ανάκτορα της Μαγναύρας. Δύο χειρόγραφα με έργα του Αρχιμήδη που διασώζονται, περιέχουν σημειώσεις που επαινούν τον Λέοντα για τις γνώσεις του στη γεωμετρία.
Τον 9ο και τον 10ο αιώνα στη Βυζαντινή Αυτοκρατορία τα εργαστήρια αντιγραφής και αποκατάστασης χειρογράφων γνώρισαν μεγάλη ανάπτυξη. Σε αυτήν την περίοδο, ίσως μάλιστα με πρωτοβουλία του ίδιου του Λέοντα, αναζητήθηκαν και συγκεντρώθηκαν στην Κωνσταντινούπολη αρκετά χειρόγραφα με έργα του Αρχιμήδη, και με αυτόν τον τρόπο διαμορφώθηκε ένας χειρόγραφος κώδικας (τον οποίο ο Heiberg είχε ονομάσει "κώδικας Α"), ο οποίος αποτέλεσε εν συνεχεία το αρχέτυπο του συνόλου της ελληνικής χειρόγραφης παράδοσης των έργων του Αρχιμήδη, με μία μόνο εξαίρεση, τον παλίμψηστο κώδικα στον οποίο θα αναφερθούμε παρακάτω. Ο "κώδικας Α" δεν διασώζεται, το περιεχόμενό του όμως μπορεί να ανασυγκροτηθεί από διάφορα αντίγραφα που έγιναν στη διάρκεια της Ιταλικής Αναγέννησης και από λατινικές μεταφράσεις του.
Ο δρόμος προς τη Δύση
Στην περίοδο μετά την Τέταρτη Σταυροφορία το 1204 ο "κώδικας Α" με τα έργα του Αρχιμήδη πήρε, όπως τόσα άλλα ελληνικά χειρόγραφα του Βυζαντίου, τον δρόμο προς τη Δύση. Μεταφέρθηκε αρχικώς στο Παλέρμο, για να καταλήξει, μετά το 1266, στη Βιβλιοθήκη του Πάπα. Η ιστορία του κώδικα στα χρόνια που ακολούθησαν δεν είναι γνωστή σε όλες τις λεπτομέρειες. Αυτά που γνωρίζουμε είναι ότι χρησιμοποιήθηκε από τον δομινικανό μοναχό και λόγιο Γουλιέλμο του Μέρμπερκε (περ. 1215-1297) για τη λατινική μετάφραση των έργων του Αρχιμήδη που εκπόνησε το 1269, ενώ από τους καταλόγους των βιβλίων της Βιβλιοθήκης του Πάπα που συντάχθηκαν στα έτη 1295 και 1311 προκύπτει ότι μέχρι τότε το χειρόγραφο ανήκε σε αυτήν. Αργότερα γνωρίζουμε ότι πέρασε σε ιδιωτικά χέρια ώσπου, μετά το 1564 χάθηκε οριστικά. Αλλά εν τω μεταξύ είχαν δημιουργηθεί αρκετά αντίγραφά του.
Για τη μετάφρασή του ο Γουλιέλμος χρησιμοποίησε εκτός από τον "κώδικα Α" και ένα δεύτερο χειρόγραφο (το οποίο ο Heiberg ονόμασε "κώδικας B"), που περιείχε έργα μηχανικής και οπτικής διαφόρων συγγραφέων, από τα οποία μετέφρασε μόνο τα δύο βιβλία του "Περί οχουμένων" του Αρχιμήδη, που δεν περιλαμβάνονταν στον "κώδικα Α". Ο "κώδικας Β" ανήκε και αυτός στην Βιβλιοθήκη του Πάπα (αναφέρεται στους καταλόγους του 1295 και του 1311) και δεν διασώθηκε.
Τον 17ο και 18ο αιώνα οι γνώσεις μας για το έργο του Αρχιμήδη εμπλουτίστηκαν από δύο νέες ανακαλύψεις. Συγκεκριμένα, το 1659 και το 1661 δημοσιεύθηκαν δύο λατινικές μεταφράσεις ενός έργου του Άραβα μαθηματικού Thabit Ibn Qurra (†901), το οποίο περιείχε μεταξύ άλλων την αραβική απόδοση του βιβλίου των Λημμάτων (Liber Assumptorum|) του Αρχιμήδη. Επίσης, το 1773 ο Γερμανός ποιητής G.E. Lessing (1729-1781) εξέδωσε ένα επίγραμμα στο οποίο διατυπώνεται το Βοεικόν πρόβλημα, το οποίο οι αρχαίες πηγές αποδίδουν στον Αρχιμήδη.
Τον 17ο και 18ο αιώνα οι γνώσεις μας για το έργο του Αρχιμήδη εμπλουτίστηκαν από δύο νέες ανακαλύψεις. Συγκεκριμένα, το 1659 και το 1661 δημοσιεύθηκαν δύο λατινικές μεταφράσεις ενός έργου του Άραβα μαθηματικού Thabit Ibn Qurra (†901), το οποίο περιείχε μεταξύ άλλων την αραβική απόδοση του βιβλίου των Λημμάτων (Liber Assumptorum|) του Αρχιμήδη. Επίσης, το 1773 ο Γερμανός ποιητής G.E. Lessing (1729-1781) εξέδωσε ένα επίγραμμα στο οποίο διατυπώνεται το Βοεικόν πρόβλημα, το οποίο οι αρχαίες πηγές αποδίδουν στον Αρχιμήδη.
Τα νέα ευρήματα
Η ανακάλυψη του παλίμψηστου κώδικα του Αρχιμήδη και η ανάγνωσή του από τον Heiberg (1906), υπήρξε γεγονός μείζονος σημασίας για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Κατ’ αρχάς συνέβαλε ουσιαστικά στο να βελτιωθούν σε πολλά σημεία μερικά από τα κείμενα του Αρχιμήδη που ήσαν γνωστά από πολλούς αιώνες και είχαν εκδοθεί ήδη προ του 1906. Δεν ήταν όμως μόνον αυτό. Ούτε ήταν κυρίως αυτό. Το παλίμψηστο έφερε στο φως μερικά νέα κείμενα, τα οποία ως τότε ήσαν παντελώς άγνωστα. Το πιο σημαντικό από τα κείμενα αυτά ήταν η πραγματεία Περί των μηχανικών θεωρημάτων, ένα κείμενο που θεωρείται από πολλούς το πιο σημαντικό κείμενο που έγραψε ο Αρχιμήδης. Περιείχε επίσης το παλίμψηστο τις δύο πρώτες σελίδες μιας άλλης πραγματείας με τον περίεργο τίτλο "Στομάχιο". Τέλος, περιείχε το κείμενο μιας πραγματείας της οποίας το περιεχόμενο δεν ήταν άγνωστο, καθώς είχαμε μια μεσαιωνική λατινική μετάφρασή του από τον Γουλιέλμο του Μέρμπεκε. Ήταν η πραγματεία Περί οχουμένων.
Με την εκ νέου ανακάλυψή του φάνηκε ότι η εν γένει κατάσταση του χειρογράφου είναι πολύ επιβαρημένη, όχι μόνο λόγω του χρόνου αλλά και των κακών συνθηκών φύλαξης κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα. Το ερώτημα ήταν τι το καινούργιο θα ανέμενε κανείς να βρεθεί στο χειρόγραφο, σήμερα, έναν αιώνα μετά την πρώτη ανάγνωσή του. Η μελέτη του χειρογράφου από τις ερευνητικές ομάδες που ασχολούνται οκτώ χρόνια τώρα με αυτό, έχει δώσει θεαματικά και άκρως εντυπωσιακά αποτελέσματα. Τα πιο σημαντικά από τα αποτελέσματα είναι τα εξής:
1) Αποκαλύφθηκαν τα δεκάδες διαγράμματα που υπάρχουν στις πραγματείες του Αρχιμήδη που περιέχει το παλίμψηστο. Όπως προκύπτει, υπάρχουν πολλές διαφορές σε σύγκριση με τα διαγράμματα που σχεδίασε ο Heiberg στην έκδοση του 1910-1915. Οι διαφορές στα διαγράμματα δεν είναι πάντοτε άνευ σημασίας. Νέες έρευνες έχουν αποδείξει ότι τα διαγράμματα παίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στα αρχαία μαθηματικά κείμενα. Δεν είναι απλώς συνοδευτικά του κειμένου της απόδειξης ενός θεωρήματος, δεν σχεδιάζονταν μόνο και μόνο για εποπτικούς λόγους, όπως πιστεύαμε παλαιότερα. Μάλλον το αντίθετο φαίνεται ότι συμβαίνει: το κείμενο είναι εκείνο που συνοδεύει το διάγραμμα. Τα αρχαία μαθηματικά θεωρήματα είναι διαγράμματα συνοδευόμενα από κείμενο και όχι κείμενο που συνοδεύεται από διαγράμματα. Πολλές φορές το διάγραμμα περιέχει πληροφορίες που δεν υπάρχουν στην "απόδειξη". Για αυτό ο ρόλος του είναι καθοριστικός στην ανάπτυξη του μαθηματικού (γεωμετρικού) συλλογισμού.
2) Μία από τις πιο σημαντικές εργασίες του Αρχιμήδη είναι η "Μέθοδος των μηχανικών θεωρημάτων". Με την τεχνική επεξεργασία του χειρογράφου έγινε δυνατόν να διαβαστούν περίπου οκτώ γραμμές από την πρόταση 14 της πραγματείας αυτής, από τις οποίες προέκυψε ένα εντελώς απροσδόκητο αποτέλεσμα. Στις γραμμές αυτές αναπτύσσεται ένας μαθηματικός συλλογισμός, τελείως ξένος με ό,τι γνωρίζαμε ως τώρα για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Είναι ένας μαθηματικός συλλογισμός που χρησιμοποιεί το "ενεργεία άπειρο", κάτι που δεν συναντούμε σε κανένα άλλο μαθηματικό κείμενο της αρχαιότητας. Τέτοιοι συλλογισμοί άρχισαν δειλά-δειλά να υπεισέρχονται στα μαθηματικά τον 16ο και 17ο αιώνα, για να τα εμποτίσουν πλήρως από τα τέλη του 19ου αιώνα και μετά.
3) Η μελέτη του αποσπάσματος από το Στομάχιον έδωσε τη δυνατότητα να διατυπωθεί μια νέα ερμηνεία για το περιεχόμενο και τη σημασία αυτής της παραγνωρισμένης εργασίας του Αρχιμήδη. Η επικρατέστερη άποψη είναι σήμερα ότι ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να βρει ήταν με πόσους τρόπους δεκατέσσερα επίπεδα σχήματα μπορούν να συνενωθούν ώστε να σχηματιστεί ένα τετράγωνο. Πρόκειται λοιπόν για ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα που, μάλιστα, ανήκει στη συνδυαστική. Ανατρέπεται με αυτόν τον τρόπο η πεποίθησή μας ότι η συνδυαστική είναι ένας σύγχρονος κλάδος των Μαθηματικών. Οι ρίζες της ανάγονται στον Αρχιμήδη!
4) Έχει αναγνωσθεί μια νέα σελίδα από την πραγματεία Περί οχουμένων.
5) Μία από τις καταστροφές που υπέστη το παλίμψηστο στη διάρκεια του 20ού αιώνα οφείλεται στη "διακόσμησή του" με τις εικόνες των τεσσάρων ευαγγελιστών, τις οποίες ζωγράφισε κάποιος σε ισάριθμες σελίδες του χειρογράφου. Χρησιμοποιώντας την τεχνική της απεικόνισης φθορισμού με ακτίνες Χ οι ερευνητές μπόρεσαν να ανακαλύψουν το κείμενο που υπάρχει ακόμα και σε αυτές τις σελίδες! Πρόκειται για κείμενο από την πραγματεία "Μέθοδος των μηχανικών θεωρημάτων".
6) Η ανάγνωση του χειρογράφου έχει επιφέρει εκατοντάδες μικρότερες διορθώσεις στο κείμενο της έκδοσης του Heiberg.
7) Τέλος, το 2002 ανακαλύφθηκε ότι το παλίμψηστο, εκτός από τις πραγματείες του Αρχιμήδη, περιέχει δέκα σελίδες με λόγους ενός από τους μεγαλύτερους ρήτορες της αρχαίας Αθήνας, του Υπερείδη. Ο Υπερείδης ήταν σύγχρονος του Αριστοτέλη και του Δημοσθένη και δεν σώζεται κανένα άλλο μεσαιωνικό χειρόγραφο με έργα του.
Η ιστορία του παλίμψηστου
Οι γνώσεις μας για το έργο του Αρχιμήδη διευρύνθηκαν με δραματικό τρόπο από νέες ανακαλύψεις που έγιναν στη διάρκεια του 20ού αιώνα. Η σπουδαιότερη από αυτές ήταν η ανακάλυψη ενός παλίμψηστου κώδικα, ο οποίος περιείχε μερικά κείμενα που δεν ήταν ως τότε γνωστά. Η εξιστόρηση της ανακάλυψης έχει ως εξής:
Το έτος 1899 ο Αθανάσιος Παπαδόπουλος-Κεραμεύς (1856-1912) σημείωνε στον τέταρτο τόμο του καταλόγου των χειρογράφων των ανά τον κόσμο βιβλιοθηκών του Πατριαρχείου των Ιεροσολύμων την ύπαρξη ενός παλίμψηστου περγαμηνού χειρογράφου μαθηματικού περιεχομένου, το οποίο ανήκε στη βιβλιοθήκη του μετοχίου του Παναγίου Τάφου στην Κωνσταντινούπολη, όπου ήταν καταχωρημένο ως "Κώδιξ ιεροσολυμιτικός" υπ' αριθ. 355. Παρέθεσε μάλιστα και μικρό δείγμα του μαθηματικού κειμένου που μπόρεσε να διαβάσει. Ο Παπαδόπουλος πρόσθεσε επίσης την πληροφορία ότι το χειρόγραφο περιέχει μια επιγραφή του 16ου αιώνα, η οποία αναφέρει ότι ανήκε στη μονή του Αγίου Σάββα. Η επιγραφή αυτή σήμερα δεν διασώζεται.
Παλίμψηστα λέγονται τα χειρόγραφα των οποίων έχει αποξεσθεί το αρχικώς γραμμένο κείμενο για να γραφεί νέο. Στο εν λόγω παλίμψηστο είχε γραφεί λειτουργικό ευχολόγιο, κάτω όμως από αυτό διακρίνονταν τα ίχνη γραφής κάποιου μαθηματικού συγγράμματος. Σήμερα γνωρίζουμε ότι το χειρόγραφο βρισκόταν στο μετόχιο τουλάχιστον από το 1846, γιατί μνημονεύεται σε περιηγητικό βιβλίο που εκδόθηκε αυτό το έτος από τον Γερμανό λόγιο και μελετητή της Βίβλου Konstantin von Tischendorf (1815-1874). Ο Tischendorf, ο οποίος είναι γνωστός για την ανακάλυψη του περίφημου Σιναϊτικού κώδικα της Βίβλου, είχε επισκεφθεί τη βιβλιοθήκη του μετοχίου όπου εντόπισε το παλίμψηστο, από το οποίο μάλιστα αφαίρεσε ένα φύλλο, που αργότερα πουλήθηκε από τους κληρονόμους του και σήμερα ανήκει στη βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου του Cambridge. Ούτε ο Tischendorf ούτε μισόν αιώνα αργότερα ο Παπαδόπουλος-Κεραμεύς μπόρεσαν να αναγνωρίσουν το κείμενο του Αρχιμήδη που περιείχε το χειρόγραφο.
Τη δημοσίευση του Παπαδόπουλου παρατήρησε ο Γερμανός ιστορικός των μαθηματικών Hermann Schoene και αυτός την ανακοίνωσε στον Heiberg, ο οποίος αναγνώρισε αμέσως ότι πρόκειται για κείμενο του Αρχιμήδη. Έτσι, το 1906 μετέβη στην Κωνσταντινούπολη, όπου μελέτησε το χειρόγραφο, διαπίστωσε ότι περιείχε έργα του Αρχιμήδη, και αποκρυπτογράφησε μεγάλο μέρος του κειμένου χρησιμοποιώντας απλό μεγεθυντικό φακό. Τα κείμενα που αναγνώρισε ο Heiberg ότι περιείχε ο κώδικας ήταν το Περί σφαίρας και κυλίνδρου, το Περί ελίκων, τμήματα από το Κύκλου μέτρησις και το Περίεπιπέδων ισορροπιών, τμήματα από το β βιβλίο του Περί οχουμένων και την μέχρι τότε άγνωστη αρχή του Στομαχίου. Αλλά το σπουδαιότατο εύρημα που ήλθε στο φως με το παλίμψηστο ήταν η πραγματεία Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη Έφοδος, την ύπαρξη της οποίας γνωρίζαμε ως τότε από αναφορές τρίτων. Η ανακάλυψη του Heiberg έκανε γνωστή για πρώτη φορά την ίδια την πραγματεία του Αρχιμήδη, έστω και αν στο χειρόγραφο δεν περιέχεται (όπως φαίνεται από τα μέχρι σήμερα δεδομένα) ολόκληρο το κείμενό της. Ο Heiberg εξέτασε εκ νέου το χειρόγραφο το 1908 και κατόπιν επιμελήθηκε τη νέα βελτιωμένη, και θεωρούμενη μέχρι πρόσφατα οριστική, κριτική έκδοση των έργων του Αρχιμήδη (1910-1915).
Τη δημοσίευση του Παπαδόπουλου παρατήρησε ο Γερμανός ιστορικός των μαθηματικών Hermann Schoene και αυτός την ανακοίνωσε στον Heiberg, ο οποίος αναγνώρισε αμέσως ότι πρόκειται για κείμενο του Αρχιμήδη. Έτσι, το 1906 μετέβη στην Κωνσταντινούπολη, όπου μελέτησε το χειρόγραφο, διαπίστωσε ότι περιείχε έργα του Αρχιμήδη, και αποκρυπτογράφησε μεγάλο μέρος του κειμένου χρησιμοποιώντας απλό μεγεθυντικό φακό. Τα κείμενα που αναγνώρισε ο Heiberg ότι περιείχε ο κώδικας ήταν το Περί σφαίρας και κυλίνδρου, το Περί ελίκων, τμήματα από το Κύκλου μέτρησις και το Περίεπιπέδων ισορροπιών, τμήματα από το β βιβλίο του Περί οχουμένων και την μέχρι τότε άγνωστη αρχή του Στομαχίου. Αλλά το σπουδαιότατο εύρημα που ήλθε στο φως με το παλίμψηστο ήταν η πραγματεία Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη Έφοδος, την ύπαρξη της οποίας γνωρίζαμε ως τότε από αναφορές τρίτων. Η ανακάλυψη του Heiberg έκανε γνωστή για πρώτη φορά την ίδια την πραγματεία του Αρχιμήδη, έστω και αν στο χειρόγραφο δεν περιέχεται (όπως φαίνεται από τα μέχρι σήμερα δεδομένα) ολόκληρο το κείμενό της. Ο Heiberg εξέτασε εκ νέου το χειρόγραφο το 1908 και κατόπιν επιμελήθηκε τη νέα βελτιωμένη, και θεωρούμενη μέχρι πρόσφατα οριστική, κριτική έκδοση των έργων του Αρχιμήδη (1910-1915).
Οι νεότερες πληροφορίες
Η έρευνα που γίνεται αυτόν τον καιρό γύρω από τον κώδικα έχει φέρει στο φως μερικά άκρως εντυπωσιακά στοιχεία για την ιστορία του. Ο κώδικας γράφηκε κατά το τρίτο τέταρτο του 10ου αιώνα, πιθανώς στην Κωνσταντινούπολη. Περιείχε τουλάχιστον επτά έργα του Αρχιμήδη. Αργότερα ο κώδικας μετατράπηκε σε παλίμψηστο. Πότε και πού έγινε αυτό; Ποιος ήταν ο υπεύθυνος για αυτήν την πράξη; Στα ερωτήματα αυτά μέχρι πρότινος δεν υπήρχε απάντηση. Όμως τον Μάρτιο του τρέχοντος έτους μία ομάδα επιστημόνων κατόρθωσε να διαβάσει σε μια σελίδα του χειρογράφου την ταυτότητα του μοναχού που έσβησε το κείμενο του Αρχιμήδη και έγραψε επάνω από αυτό το λειτουργικό ευχολόγιο. Το όνομά του ήταν Ιωάννης Μύρωνας. Ο Ιωάννης ολοκλήρωσε το έργο της μετατροπής του χειρογράφου του Αρχιμήδη σε εκκλησιαστικό κείμενο στις 14 Απριλίου 1229. Και όλα αυτά έγιναν στην Ιερουσαλήμ.
Η μονή του Αγίου Σάββα ιδρύθηκε κατά την παράδοση το έτος 483 από τον Άγιο Σάββα και αναδείχτηκε γρήγορα σε ένα πολύ σημαντικό πνευματικό κέντρο. Βρίσκεται στην έρημο της Ιουδαίας, μεταξύ της Βηθλεέμ και της Νεκρής Θάλασσας. Η μονή είχε ένα πολύ οργανωμένο βιβλιογραφικό εργαστήριο (scriptorium), και η βιβλιοθήκη της το 1834 περιείχε περισσότερα από 1.000 χειρόγραφα. Δεν γνωρίζουμε πότε το χειρόγραφο του Αρχιμήδη μεταφέρθηκε στη μονή του Αγίου Σάββα, θεωρείται βέβαιο όμως ότι αυτό έγινε πριν τον 16ο αιώνα.
Ακόμα πιο σκοτεινή είναι η ιστορία του χειρογράφου από την εποχή που το μελέτησε ο Heiberg και μετά. Ιδιαιτέρως, πλήρες σκοτάδι καλύπτει την περίοδο ως τα πρώτα χρόνια της δεκαετίας 1920-30 οπότε, κάτω από άγνωστες συνθήκες, πέρασε σε έναν Γάλλο ιδιώτη. Το Πατριαρχείο των Ιεροσολύμων ισχυρίζεται βάσιμα ότι το χειρόγραφο εκλάπη, δεδομένου ότι το μετόχι δεν είχε καμία αρμοδιότητα να εκποιεί χειρόγραφα της βιβλιοθήκης του χωρίς άδεια από τον ίδιο τον Πατριάρχη, και τέτοια άδεια για πώληση του κώδικα του Αρχιμήδη δεν δόθηκε ποτέ. Έκτοτε, το χειρόγραφο παρέμενε στην ιδιωτική συλλογή, ώσπου, στα τέλη του 1998 δόθηκε προς δημοπρασία στον οίκο δημοπρασιών Christie's. Η δημοπρασία έγινε στις 28 Οκτωβρίου 1998 στη Νέα Υόρκη και το χειρόγραφο πωλήθηκε έναντι $ 2.000.000 σε Αμερικανό συλλέκτη, του οποίου η ταυτότητα παραμένει άγνωστη. Τον Ιανουάριο 1999 ο νέος ιδιοκτήτης παρέδωσε το χειρόγραφο στο Walters Art Museum της Βαλτιμόρης, για συντήρηση, φωτογράφηση και επιστημονική μελέτη.
Ακόμα πιο σκοτεινή είναι η ιστορία του χειρογράφου από την εποχή που το μελέτησε ο Heiberg και μετά. Ιδιαιτέρως, πλήρες σκοτάδι καλύπτει την περίοδο ως τα πρώτα χρόνια της δεκαετίας 1920-30 οπότε, κάτω από άγνωστες συνθήκες, πέρασε σε έναν Γάλλο ιδιώτη. Το Πατριαρχείο των Ιεροσολύμων ισχυρίζεται βάσιμα ότι το χειρόγραφο εκλάπη, δεδομένου ότι το μετόχι δεν είχε καμία αρμοδιότητα να εκποιεί χειρόγραφα της βιβλιοθήκης του χωρίς άδεια από τον ίδιο τον Πατριάρχη, και τέτοια άδεια για πώληση του κώδικα του Αρχιμήδη δεν δόθηκε ποτέ. Έκτοτε, το χειρόγραφο παρέμενε στην ιδιωτική συλλογή, ώσπου, στα τέλη του 1998 δόθηκε προς δημοπρασία στον οίκο δημοπρασιών Christie's. Η δημοπρασία έγινε στις 28 Οκτωβρίου 1998 στη Νέα Υόρκη και το χειρόγραφο πωλήθηκε έναντι $ 2.000.000 σε Αμερικανό συλλέκτη, του οποίου η ταυτότητα παραμένει άγνωστη. Τον Ιανουάριο 1999 ο νέος ιδιοκτήτης παρέδωσε το χειρόγραφο στο Walters Art Museum της Βαλτιμόρης, για συντήρηση, φωτογράφηση και επιστημονική μελέτη.
Η ανάγνωση του παλίμψηστου χειρογράφου του Αρχιμήδη
Όπως ήταν αναμενόμενο, τόσο λόγω της δημοσιότητας που είχε πάρει το όλο θέμα όσο και λόγω της σπουδαιότητας του τεκμηρίου, η ανάγνωση του παλίμψηστου θεωρήθηκε μέγιστη πρόκληση αλλά και εξαιρετική ευκαιρία για να αναπτυχθούν και να δοκιμαστούν νέες μέθοδοι λήψης και επεξεργασίας ψηφιακών εικόνων. Πολλά επιστημονικά εργαστήρια πανεπιστημίων και μεγάλων ιδιωτικών εταιριών υπέβαλαν σχετικές προτάσεις.
Οι πρώτες προσπάθειες ξεκίνησαν στις αρχές του 2000. Επελέγησαν πέντε φύλλα από το παλίμψηστο και φωτογραφήθηκαν με διαφορετικές τεχνικές ώστε να επιλεγεί η καταλληλότερη. Από τα πρώτα αποτελέσματα κρίθηκε ότι πιο αποτελεσματική για τους σκοπούς του έργου ήταν η πολυφασματική απεικόνιση. Η πολυφασματική απεικόνιση είναι μια σύνθετη σύγχρονη τεχνική ψηφιακής φωτογράφησης, κατά την οποία η ίδια ακριβώς περιοχή φωτογραφίζεται με κατάλληλες συσκευές σε διαφορετικά μήκη κύματος του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, που αντιστοιχούν όχι μόνο στο οπτικό τμήμα του (δηλαδή στις ακτινοβολίες που είναι ορατές από το ανθρώπινο μάτι) αλλά επίσης στο υπεριώδες και στο υπέρυθρο. Έτσι, κάτι που είναι αόρατο στο λευκό φως (RGB φως) μπορεί να γίνει ορατό στο υπεριώδες ή στο υπέρυθρο. Οι μέθοδοι της πολυφασματικής απεικόνισης έχουν κυρίως αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια για τη δορυφορική φωτογράφηση περιοχών της γης. Το σύνολο των φωτογραφιών του ίδιου αντικειμένου, σε διαφορετικά όμως μήκη κύματος, συνιστά μια δέσμη απεικονίσεων που με κατάλληλους αλγορίθμους επεξεργασίας δίνει τελικά μια νέα "συνθετική" εικόνα του αντικειμένου, στην οποία έχουν αναδειχθεί στον μεγαλύτερο δυνατό βαθμό τα μορφολογικά χαρακτηριστικά που επιθυμούμε κάθε φορά να αναδείξουμε. Στην προκειμένη περίπτωση θεωρήθηκε ότι αυτό που κυρίως ενδιέφερε ήταν να αναδειχθεί το αρχικό περιεχόμενο, η αρχική γραφή του κώδικα και να "εξαφανιστεί", όσο τουλάχιστον ήταν αυτό δυνατόν, η δεύτερη γραφή που την επικάλυπτε.
Τα πρώτα αποτελέσματα ήταν εντυπωσιακά, διότι οι ερευνητές πέτυχαν να εντοπίσουν τα ιδιαίτερα φασματικά χαρακτηριστικά της μελάνης με την οποία είχε γραφεί το κείμενο του Αρχιμήδη και να τα αναδείξουν φωτογραφικά, διαχωρίζοντας το αρχικό κείμενο τόσο από το υπόβαθρο στο οποίο βρισκόταν (περγαμηνή) όσο και από τη δεύτερη γραφή που είχε προστεθεί από πάνω.
Όμως παρά τα πρώτα εντυπωσιακά αποτελέσματα δεν έμειναν ικανοποιημένοι για μια σειρά από λόγους: η συνθετική εικόνα που προερχόταν από την πολυφασματική φωτογράφηση δεν ήταν όσο καθαρή και λεπτομερειακή επιθυμούσαν. Επιπλέον η επεξεργασία με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή των επί μέρους εικόνων, προκειμένου να παραχθεί η τελική συνθετική εικόνα, δημιουργούσε παραμορφώσεις και "θόρυβο" που καθιστούσαν πολύ δύσκολη την ανάγνωση των πιο κατεστραμμένων τμημάτων του αρχικού κειμένου. Τέλος, και ίσως πιο ουσιαστικό από όλα, διαπιστώθηκε ότι η βασική στρατηγική που είχαν ακολουθήσει οι ειδικοί στην επεξεργασία ψηφιακής εικόνας (να "εξαφανίσουν" τη δεύτερη γραφή) δεν διευκόλυνε τους παλαιογράφους στην ανάγνωση του αρχικού κειμένου. Αυτό αποτέλεσε μια από τις μεγαλύτερες εκπλήξεις. Οι παλαιογράφοι προτιμούσαν να διαχωριστούν μεν χρωματικά οι δύο γραφές, να ενισχυθεί η ένταση της αρχικής γραφής, αλλά η δεύτερη γραφή να παραμείνει ορατή και αναγνώσιμη. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ τα πρώτα δείγματα εικόνων που δόθηκαν στην επιστημονική κοινότητα περιείχαν μόνο το κείμενο του Αρχιμήδη, οι τελικές φωτογραφίες περιείχαν και τα δύο κείμενα με "ψευδοχρωματισμό" δηλαδή με διαφορετικό χρώμα που δημιουργούσε ο ηλεκτρονικός υπολογιστής για την πρώτη και δεύτερη γραφή.Με βάση αυτά τα πρώτα συμπεράσματα από τις πειραματικές επεξεργασίες σχεδιάστηκαν οι φωτογραφικές διατάξεις και δημιουργήθηκαν οι αλγόριθμοι επεξεργασίας που χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή των τελικών ψηφιακών εικόνων. Το κείμενο του Αρχιμήδη ήταν πολύ δυσανάγνωστο στην οπτική περιοχή και εξαφανιζόταν σχεδόν εντελώς όταν φωτογραφιζόταν στην ερυθρή περιοχή του φάσματος της οπτικής περιοχής. Χρησιμοποίησαν λοιπόν αυτό το μήκος κύματος για να "εξαφανίσουν" στη φωτογράφηση το αρχικό κείμενο και να αναδείξουν τη δεύτερη γραφή. Η δεύτερη φασματική περιοχή που χρησιμοποιήθηκε ήταν η υπεριώδης. Η υπεριώδης ακτινοβολία δεν είναι ορατή αλλά έχει την ιδιότητα να ενεργοποιεί ορισμένες ουσίες που όταν τη δέχονται αρχίζουν να εκπέμπουν φως στη μπλε περιοχή της οπτικής περιοχής του φάσματος. Αυτήν την ιδιότητα έχει η περγαμηνή, αλλά όχι και η μελάνη με την οποία είχαν γραφεί τα κείμενα. Όταν λοιπόν "βομβαρδίσουμε" με υπεριώδη ακτινοβολία το χειρόγραφο η περγαμηνή εκπέμπει γαλάζιο φως, ενώ η μελάνη παραμένει σκοτεινή. Το κύριο πρόβλημα στην περίπτωση ενός παλίμψηστου είναι ότι με την τεχνική αυτή αναδεικνύονται εξίσου και τα δύο υπάρχοντα διαφορετικά κείμενα. Αν όμως συνδυαστούν οι δύο αυτές διαφορετικές εικόνες -αυτή που πάρθηκε στην ερυθρή περιοχή του ορατού φάσματος και αυτή που πάρθηκε στην μπλε περιοχή του ορατού φάσματος μετά τον φωτισμό του παλίμψηστου με υπεριώδη ακτινοβολία- έχουμε τη δυνατότητα να διαχωρίσουμε πλήρως τις τρεις συνιστώσες που μας ενδιαφέρουν: το υπόβαθρο, δηλαδή, την περγαμηνή, τη δεύτερη γραφή που ήταν ορατή μόνο στο ερυθρό και τις δύο γραφές μαζί. Τα αποτελέσματα ήταν πράγματι εξαιρετικά. Εν τούτοις παρά τα εντυπωσιακά αυτά αποτελέσματα αλλά και τη συνεχή βελτίωση των χρησιμοποιούμενων τεχνικών που εφαρμόστηκαν στη συνέχεια για τη φωτογράφηση του παλίμψηστου, ορισμένα κρίσιμα για την έρευνα τμήματα του παλίμψηστου δεν ήταν δυνατόν να διαβαστούν, διότι η αρχική αυτή γραφή είχε εν μέρει ή στο σύνολο της καταστραφεί, και υπήρχαν ελάχιστα υπολείμματα της αρχικής μελάνης, με αποτέλεσμα τα γράμματα να μην είναι αναγνωρίσιμα.
Οι επιστήμονες που είχαν αναλάβει το δύσκολο αυτό έργο γνώριζαν ότι η ανάγνωση αυτών των τμημάτων θα απαιτούσε πολύ μεγαλύτερη προσπάθεια και σχεδιασμό και ανάπτυξη νέων μεθόδων. Αποφάσισαν να συνδράμουν τις προσπάθειες των παλαιογράφων με τη δημιουργία κατάλληλου λογισμικού οπτικής αναγνώρισης χαρακτήρων, που θα μπορούσε με μεγάλη πιθανότητα επιτυχίας να αναγνωρίσει κάποιο κατεστραμμένο σε μεγάλο ποσοστό χαρακτήρα από το ελάχιστο μέρος του που είχε απομένει ανέπαφο. Προς την κατεύθυνση αυτή συνηγορούσε και το γεγονός ότι όλο το χειρόγραφο προερχόταν από τον ίδιο γραφέα (του οποίου η γραφή ήταν ιδιαίτερα σταθερή και συνεπής), επομένως τα μορφολογικά χαρακτηριστικά των γραμμάτων ήταν σταθερά και επαναλαμβανόμενα. Το επόμενο βήμα ήταν να δημιουργηθεί ένα εξειδικευμένο για τα χαρακτηριστικά του παλίμψηστου λογισμικό οπτικής αναγνώρισης χαρακτήρων. Τα πρώτα αποτελέσματα ήταν ιδιαίτερα ενθαρρυντικά και η προσπάθεια προς την κατεύθυνση αυτή συνεχίστηκε με διαρκείς βελτιώσεις του λογισμικού. Στις αρχές του 2004 εξακολουθούσαν να υπάρχουν μικρά αλλά ιδιαίτερης σημασίας τμήματα που δεν είχαν αναγνωριστεί. Για τον λόγο αυτό τον Απρίλιο του 2004 διοργανώθηκε ένα ειδικό συνέδριο στο οποίο παρουσιάστηκαν και συζητήθηκαν σε βάθος τα αποτελέσματα της επεξεργασίας των ψηφιακών εικόνων που είχαν ληφθεί αλλά και τα προβλήματα που ανέμεναν λύση. Στο συνέδριο αυτό τρεις διαφορετικοί επιστήμονες πρότειναν τα τελευταία αυτά "αδιάβαστα" τμήματα να ανακτηθούν με τη χρήση μιας τεχνικής που καλείται απεικόνιση φθορισμού ακτίνων Χ, η οποία είναι ένα είδος πολύ σύνθετης τεχνικά ακτινογραφίας, σκοπός της οποίας ήταν να εντοπίσει και τα ελάχιστα ίχνη μελανιού της αρχικής γραφής, πράγμα που δεν ήταν δυνατόν να γίνει με κλασικές μεθόδους ακτινογράφησης. Τα αποτελέσματα αυτής της μεθόδου ήταν εντυπωσιακά και συνέβαλαν στο να αναγνωριστούν κάποια ακόμη τμήματα. Παρέμεναν όμως αδιάβαστα τα μέρη του κειμένου που βρίσκονταν πίσω από τις εικόνες που είχαν προστεθεί εκ των υστέρων στο αρχικό παλίμψηστο. Με την απεικόνιση φθορισμού ακτίνων Χ αυτό φάνηκε ότι ήταν δυνατό, χρειαζόταν όμως ακτινοβολία Χ πολύ μεγαλύτερης έντασης από αυτήν που είχαν χρησιμοποιήσει στις δοκιμές της μεθόδου, τόσο για να συντομεύσουν τον χρόνο επεξεργασίας όσο και για να επιτύχουν την ανάδειξη του κρυμμένου κειμένου με περισσότερες λεπτομέρειες. Το πρόβλημα λύθηκε με τη συνδρομή ενός από τα πιο γνωστά πανεπιστημιακά Εργαστήρια, του Synchrotron Radiation Laboratory στο Πανεπιστήμιο Stanford. Με τη μέθοδο αυτή διαβάζεται τελικά ακόμη και το κείμενο που έκρυβαν οι εικόνες, και έτσι ολοκληρώθηκε με επιτυχία η προσπάθεια που είχε ξεκινήσει το 2000.
Δημοσιεύθηκε στην ΑΥΓΗ, 13-8-2006
Όμως παρά τα πρώτα εντυπωσιακά αποτελέσματα δεν έμειναν ικανοποιημένοι για μια σειρά από λόγους: η συνθετική εικόνα που προερχόταν από την πολυφασματική φωτογράφηση δεν ήταν όσο καθαρή και λεπτομερειακή επιθυμούσαν. Επιπλέον η επεξεργασία με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή των επί μέρους εικόνων, προκειμένου να παραχθεί η τελική συνθετική εικόνα, δημιουργούσε παραμορφώσεις και "θόρυβο" που καθιστούσαν πολύ δύσκολη την ανάγνωση των πιο κατεστραμμένων τμημάτων του αρχικού κειμένου. Τέλος, και ίσως πιο ουσιαστικό από όλα, διαπιστώθηκε ότι η βασική στρατηγική που είχαν ακολουθήσει οι ειδικοί στην επεξεργασία ψηφιακής εικόνας (να "εξαφανίσουν" τη δεύτερη γραφή) δεν διευκόλυνε τους παλαιογράφους στην ανάγνωση του αρχικού κειμένου. Αυτό αποτέλεσε μια από τις μεγαλύτερες εκπλήξεις. Οι παλαιογράφοι προτιμούσαν να διαχωριστούν μεν χρωματικά οι δύο γραφές, να ενισχυθεί η ένταση της αρχικής γραφής, αλλά η δεύτερη γραφή να παραμείνει ορατή και αναγνώσιμη. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ενώ τα πρώτα δείγματα εικόνων που δόθηκαν στην επιστημονική κοινότητα περιείχαν μόνο το κείμενο του Αρχιμήδη, οι τελικές φωτογραφίες περιείχαν και τα δύο κείμενα με "ψευδοχρωματισμό" δηλαδή με διαφορετικό χρώμα που δημιουργούσε ο ηλεκτρονικός υπολογιστής για την πρώτη και δεύτερη γραφή.Με βάση αυτά τα πρώτα συμπεράσματα από τις πειραματικές επεξεργασίες σχεδιάστηκαν οι φωτογραφικές διατάξεις και δημιουργήθηκαν οι αλγόριθμοι επεξεργασίας που χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή των τελικών ψηφιακών εικόνων. Το κείμενο του Αρχιμήδη ήταν πολύ δυσανάγνωστο στην οπτική περιοχή και εξαφανιζόταν σχεδόν εντελώς όταν φωτογραφιζόταν στην ερυθρή περιοχή του φάσματος της οπτικής περιοχής. Χρησιμοποίησαν λοιπόν αυτό το μήκος κύματος για να "εξαφανίσουν" στη φωτογράφηση το αρχικό κείμενο και να αναδείξουν τη δεύτερη γραφή. Η δεύτερη φασματική περιοχή που χρησιμοποιήθηκε ήταν η υπεριώδης. Η υπεριώδης ακτινοβολία δεν είναι ορατή αλλά έχει την ιδιότητα να ενεργοποιεί ορισμένες ουσίες που όταν τη δέχονται αρχίζουν να εκπέμπουν φως στη μπλε περιοχή της οπτικής περιοχής του φάσματος. Αυτήν την ιδιότητα έχει η περγαμηνή, αλλά όχι και η μελάνη με την οποία είχαν γραφεί τα κείμενα. Όταν λοιπόν "βομβαρδίσουμε" με υπεριώδη ακτινοβολία το χειρόγραφο η περγαμηνή εκπέμπει γαλάζιο φως, ενώ η μελάνη παραμένει σκοτεινή. Το κύριο πρόβλημα στην περίπτωση ενός παλίμψηστου είναι ότι με την τεχνική αυτή αναδεικνύονται εξίσου και τα δύο υπάρχοντα διαφορετικά κείμενα. Αν όμως συνδυαστούν οι δύο αυτές διαφορετικές εικόνες -αυτή που πάρθηκε στην ερυθρή περιοχή του ορατού φάσματος και αυτή που πάρθηκε στην μπλε περιοχή του ορατού φάσματος μετά τον φωτισμό του παλίμψηστου με υπεριώδη ακτινοβολία- έχουμε τη δυνατότητα να διαχωρίσουμε πλήρως τις τρεις συνιστώσες που μας ενδιαφέρουν: το υπόβαθρο, δηλαδή, την περγαμηνή, τη δεύτερη γραφή που ήταν ορατή μόνο στο ερυθρό και τις δύο γραφές μαζί. Τα αποτελέσματα ήταν πράγματι εξαιρετικά. Εν τούτοις παρά τα εντυπωσιακά αυτά αποτελέσματα αλλά και τη συνεχή βελτίωση των χρησιμοποιούμενων τεχνικών που εφαρμόστηκαν στη συνέχεια για τη φωτογράφηση του παλίμψηστου, ορισμένα κρίσιμα για την έρευνα τμήματα του παλίμψηστου δεν ήταν δυνατόν να διαβαστούν, διότι η αρχική αυτή γραφή είχε εν μέρει ή στο σύνολο της καταστραφεί, και υπήρχαν ελάχιστα υπολείμματα της αρχικής μελάνης, με αποτέλεσμα τα γράμματα να μην είναι αναγνωρίσιμα.
Οι επιστήμονες που είχαν αναλάβει το δύσκολο αυτό έργο γνώριζαν ότι η ανάγνωση αυτών των τμημάτων θα απαιτούσε πολύ μεγαλύτερη προσπάθεια και σχεδιασμό και ανάπτυξη νέων μεθόδων. Αποφάσισαν να συνδράμουν τις προσπάθειες των παλαιογράφων με τη δημιουργία κατάλληλου λογισμικού οπτικής αναγνώρισης χαρακτήρων, που θα μπορούσε με μεγάλη πιθανότητα επιτυχίας να αναγνωρίσει κάποιο κατεστραμμένο σε μεγάλο ποσοστό χαρακτήρα από το ελάχιστο μέρος του που είχε απομένει ανέπαφο. Προς την κατεύθυνση αυτή συνηγορούσε και το γεγονός ότι όλο το χειρόγραφο προερχόταν από τον ίδιο γραφέα (του οποίου η γραφή ήταν ιδιαίτερα σταθερή και συνεπής), επομένως τα μορφολογικά χαρακτηριστικά των γραμμάτων ήταν σταθερά και επαναλαμβανόμενα. Το επόμενο βήμα ήταν να δημιουργηθεί ένα εξειδικευμένο για τα χαρακτηριστικά του παλίμψηστου λογισμικό οπτικής αναγνώρισης χαρακτήρων. Τα πρώτα αποτελέσματα ήταν ιδιαίτερα ενθαρρυντικά και η προσπάθεια προς την κατεύθυνση αυτή συνεχίστηκε με διαρκείς βελτιώσεις του λογισμικού. Στις αρχές του 2004 εξακολουθούσαν να υπάρχουν μικρά αλλά ιδιαίτερης σημασίας τμήματα που δεν είχαν αναγνωριστεί. Για τον λόγο αυτό τον Απρίλιο του 2004 διοργανώθηκε ένα ειδικό συνέδριο στο οποίο παρουσιάστηκαν και συζητήθηκαν σε βάθος τα αποτελέσματα της επεξεργασίας των ψηφιακών εικόνων που είχαν ληφθεί αλλά και τα προβλήματα που ανέμεναν λύση. Στο συνέδριο αυτό τρεις διαφορετικοί επιστήμονες πρότειναν τα τελευταία αυτά "αδιάβαστα" τμήματα να ανακτηθούν με τη χρήση μιας τεχνικής που καλείται απεικόνιση φθορισμού ακτίνων Χ, η οποία είναι ένα είδος πολύ σύνθετης τεχνικά ακτινογραφίας, σκοπός της οποίας ήταν να εντοπίσει και τα ελάχιστα ίχνη μελανιού της αρχικής γραφής, πράγμα που δεν ήταν δυνατόν να γίνει με κλασικές μεθόδους ακτινογράφησης. Τα αποτελέσματα αυτής της μεθόδου ήταν εντυπωσιακά και συνέβαλαν στο να αναγνωριστούν κάποια ακόμη τμήματα. Παρέμεναν όμως αδιάβαστα τα μέρη του κειμένου που βρίσκονταν πίσω από τις εικόνες που είχαν προστεθεί εκ των υστέρων στο αρχικό παλίμψηστο. Με την απεικόνιση φθορισμού ακτίνων Χ αυτό φάνηκε ότι ήταν δυνατό, χρειαζόταν όμως ακτινοβολία Χ πολύ μεγαλύτερης έντασης από αυτήν που είχαν χρησιμοποιήσει στις δοκιμές της μεθόδου, τόσο για να συντομεύσουν τον χρόνο επεξεργασίας όσο και για να επιτύχουν την ανάδειξη του κρυμμένου κειμένου με περισσότερες λεπτομέρειες. Το πρόβλημα λύθηκε με τη συνδρομή ενός από τα πιο γνωστά πανεπιστημιακά Εργαστήρια, του Synchrotron Radiation Laboratory στο Πανεπιστήμιο Stanford. Με τη μέθοδο αυτή διαβάζεται τελικά ακόμη και το κείμενο που έκρυβαν οι εικόνες, και έτσι ολοκληρώθηκε με επιτυχία η προσπάθεια που είχε ξεκινήσει το 2000.
Δημοσιεύθηκε στην ΑΥΓΗ, 13-8-2006
_______________________________________________________
Ο ιστός στο μικροσκόπιο
Οι επιστήμονες ανακάλυψαν ότι – σε αντίθεση με οποιαδήποτε άλλη ίνα - το μετάξι της αράχνης έχει την ιδιότητα να μαλακώνει ή να σκληραίνει, ανάλογα με το φορτίο που δέχεται κάθε φορά.
Ακόμα, οι Αμερικανοί διαπίστωσαν ότι ο αριστουργηματικός ιστός της αράχνης είναι φτιαγμένος από δύο είδη μεταξιού: το πρώτο είναι άκαμπτο και ξηρό και χρησιμοποιείται περισσότερο σε σημεία με φορά από το κέντρο προς τα έξω. Το δεύτερο είδος νήματος μεταξιού είναι λεπτότερο και πιο κολλώδες από το πρώτο, δημιουργεί τη σπειροειδή δομή του ιστού και συνήθως επάνω σε αυτό παγιδεύονται τα άτυχα θηράματα της πανούργας αράχνης.
___________________________________________________________________
Αριστουργηματική «αρχιτέκτων» η αράχνη
Δημοσιεύθηκε στο «ΒΗΜΑ» στις 03-02-2012
Η μεγάλη αντοχή του ιστού της οφείλεται στον ιδιαίτερο σχεδιασμό του
Το μυστικό της αντοχής του ιστού της αράχνης «ξεκλείδωσαν» αμερικανοί επιστήμονες.
Ο περίτεχνος σχεδιασμός του ιστού της αράχνης, είναι εκείνος που του χαρίζει τη μεγάλη αντοχή του, υποστηρίζουν αμερικανοί επιστήμονες από το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ).
Όπως διαπίστωσαν οι επιστήμονες, το γεγονός ότι ο ιστός μπορεί να αντέχει παρά την άσκηση μεγάλων δυνάμεων οφείλεται μεν στο πανίσχυρο μετάξι της αράχνης αλλά και στον ιδιαίτερο σχεδιασμό της ύφανσής του.
Με σχετική τους δημοσίευση στην επιθεώρηση «Nature» οι ειδικοί αναφέρουν μάλιστα, ότι χάρη στην περιπλοκότητα της μοναδικής του πλέξης, όταν ένα νήμα κοπεί, όχι μόνο δεν αποδυναμώνεται ο ιστός αλλά αντίθετα ενισχύεται.
«Η πραγματική δύναμη του ιστού της αράχνης δεν οφείλεται στο μετάξι της, αλλά στη δυνατότητα μεταβολής των μηχανικών του ιδιοτήτων μέσω των δυνάμεων που ασκούνται επάνω του. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να έχει εφαρμογή σε πολλούς τομείς που θα ωφελούνταν από τον περιορισμό της έκτασης βλαβών» εξηγεί ο δρ Μάρκους Μπίλερ, ένας εκ των συγγραφέων της μελέτης.
Η δημιουργία ενός ιστού απαιτεί τεράστια αποθέματα ενέργειας από πλευράς της αράχνης, έτσι ώστε να φέρει ιδιότητες οι οποίες «φρενάρουν» την πρόκληση εκτεταμένων ζημιών που θα απαιτούσαν την ανακατασκευή του.
Οι επιστήμονες ανακάλυψαν ότι – σε αντίθεση με οποιαδήποτε άλλη ίνα - το μετάξι της αράχνης έχει την ιδιότητα να μαλακώνει ή να σκληραίνει, ανάλογα με το φορτίο που δέχεται κάθε φορά.
Στο πλαίσιο της μελέτης, οι ειδικοί έφτιαξαν ιστούς από τρία διαφορετικά υλικά. Είδαν λοιπόν ότι το μετάξι της αράχνης εμφάνιζε εξαπλάσια αντοχή όταν μπλέκονταν σε αυτό αντικείμενα ή όταν ήταν εκτεθειμένο σε δυνατούς ανέμους, σε σχέση με τα υπόλοιπα υλικά.
Όταν μια δύναμη ασκούνταν στον ιστό της αράχνης, έσπαγε μόνο ένα νήμα με αποτέλεσμα η αράχνη να χρειάζεται να κάνει μικρές επιδιορθώσεις και όχι να αναγκάζεται να τον ξαναφτιάχνει από την αρχή. Όταν πάλι αφαιρούσαν το 10% των νημάτων από διάφορα σημεία του ιστού, το σύνολο του ιστού γινόταν κατά 10% ισχυρότερο.
Δύο τα είδη του μεταξιού.
Ακόμα, οι Αμερικανοί διαπίστωσαν ότι ο αριστουργηματικός ιστός της αράχνης είναι φτιαγμένος από δύο είδη μεταξιού: το πρώτο είναι άκαμπτο και ξηρό και χρησιμοποιείται περισσότερο σε σημεία με φορά από το κέντρο προς τα έξω. Το δεύτερο είδος νήματος μεταξιού είναι λεπτότερο και πιο κολλώδες από το πρώτο, δημιουργεί τη σπειροειδή δομή του ιστού και συνήθως επάνω σε αυτό παγιδεύονται τα άτυχα θηράματα της πανούργας αράχνης.
Ενδιαφέροντα βίντεο σχετικά με τα Μαθηματικά,
τις Επιστήμες και την Τεχνολογία
Βίντεο για τον μετασχηματισμό Mobius στις μιγαδικές συναρτήσεις
Βίντεο «Οι αριθμοί στην Φύση», εξαιρετικό.
Βίντεο για τοπολογικές ιδιότητες της σφαίρας
Άτομα με ασυνήθιστες ικανότητες σε αριθμητικούς υπολογισμούς.
Βίντεο που εκφράζει την αισθητική των γεωμετρικών μετασχηματισμών
Βίντεο που εκφράζει την αισθητική των γεωμετρικών μετασχηματισμών
Βίντεο για το φράκταλ του Μάντελμπροτ
Βίντεο για τα Φράκταλς σε κίνηση
Για τον μηχανισμό των Αντικυθήρων (Μέρος 1ο)
Για τον μηχανισμό των Αντικυθήρων (Μέρος 2ο)
Ανακατασκευή του μηχανισμού των Αντικυθήρων.
Μαθηματικά και Μουσική, εκπληκτικό!!
Φράκταλ και Κινέζικη Μουσική.
Για την «Χρυσή τομή» και το αριθμό φι.
Φράκταλς στην Φύση, φωτογραφίες υψηλής αισθητικής
Λουλούδια και Συμμετρία
______________________________________________________________
Δημοσιεύθηκε στην εφημερίδα ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ στις 9 Ιουνίου 2011
Στον διεθνούς φήμης Έλληνα καθηγητή Δημήτριο Χριστοδούλου απονέμεται ένα από τα σημαντικότερα βραβεία που δίνονται στα μαθηματικά. Ο κ. Χριστοδούλου, καθηγητής του Πολυτεχνείου ΕΤΗ Ζυρίχης, τιμάται με το διεθνές βραβείο «Shaw», όπως και ο Αμερικανός καθηγητής του Πανεπιστημίου Κολούμπια της Νέας Υόρκης Ρίτσαρντ Χάμιλτον.
Ο καθηγητής του Πολυτεχνείου ΕΤΗ της Ζυρίχης Δημήτρης Χριστοδούλου. Το βραβείο, που συνοδεύεται από το χρηματικό ποσόν του ενός εκατομμυρίου δολαρίων, απονέμεται στους δύο καθηγητές για το έργο τους στις Μη Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις, σε Γεωμετρίες Λόρενς και Ρίμαν και στις εφαρμογές των εξισώσεων αυτών στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας και την Τοπολογία.
Το βραβείο «Shaw» καθιερώθηκε από τον παραγωγό ταινιών και φιλάνθρωπο Ρ. Σόου για «σπουδαία επιτεύγματα που συμβάλλουν στην προαγωγή του πολιτισμού και της ευημερίας της ανθρωπότητας».
Δίνονται μια φορά το χρόνο από το 2004 και έως τώρα έχουν απονεμηθεί σε διακεκριμένους παγκοσμίως ερευνητές, όπως στον Αντριου Γουάιλς, που έλυσε την Εικασία του Φερμά, στον Σάιμον Ντόναλσον, βραβευμένο και με το μετάλλιο Φιλτζ, το Νόμπελ των Μαθηματικών, τον Ντέιβιντ Μάμφορντ, επίσης μετάλλιο Φιλτζ, κ.ά.
Ο Δημήτριος Χριστοδούλου έχει λάβει πολλές διεθνείς διακρίσεις και θεωρείται από τους μεγαλύτερους Έλληνες μαθηματικούς των τελευταίων σαράντα χρόνων. Πριν αναλάβει την επώνυμη καθηγητική έδρα στο ΕΤΗ της Ζυρίχης, δίδασκε επί πολλά χρόνια στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον και σε άλλα μεγάλα αμερικανικά πανεπιστήμια. Η διεθνής επιστημονική κοινότητα γνωρίζει το πρωτότυπο ερευνητικό και συγγραφικό έργο του. Η απονομή του βραβείου «Shaw» θα γίνει σε ειδική τελετή στο Χονγκ Κονγκ στις 28 Σεπτεμβρίου 2011.
Ο Δημήτριος Χριστοδούλου γεννήθηκε στην Αθήνα το 1953. Ως μαθητής της Β' Λυκείου έγινε δεκτός για πανεπιστημιακές σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. Στα 18 του χρόνια είχε πάρει μάστερ στη Φυσική και στα 20 διδακτορικό.
Το 1972 γίνεται καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και επισκέπτης ερευνητής στο CERN της Γενεύης. Το 1974 πήρε θέση επισκέπτη ερευνητή στο Διεθνές Κέντρο Θεωρητικής Φυσικής στην Τεργέστη και στο Ινστιτούτο Max Planck του Μονάχου. Η πορεία του είναι θριαμβική. Γίνεται μέλος του φημισμένου Ινστιτούτο Courant, του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης.
Διδάσκει σε διάφορα αμερικανικά πανεπιστήμια και επιστρέφει το 1988 στο Ινστιτούτο Courant, ως τακτικός καθηγητής. Το 1992 εκλέγεται τακτικός καθηγητής στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου του Πρίνστον και τον Ιούνιο του 1993 παίρνει το βραβείο MacArthur, που απονέμεται σε διεθνείς προσωπικότητες των επιστημών και των τεχνών. Σήμερα είναι επίλεκτο στέλεχος του ΕΤΗ, του σπουδαιότερου Πολυτεχνείου της Ευρώπης.
_________________________________________________________
ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΜΕ ΣΤΗΛΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
Είναι ένας κατάλογος μαθηματικών περιοδικών με στήλες μαθηματικών προβλημάτων.
Πατάτε στο όνομα του περιοδικού και συνδέεστε αμέσως με αυτό.
1 1) Mathematical Reflections
2) MATHPROBLEMS
3) The Pentagon
4) School Science and Mathematics
5) The Fibonacci Quarterly
6) Pi Mu Epsilon journal
7) Gazette of the Australian Mathematical Society
8) Mathematical Excalibur
9) Nieuw Archief voor Wiskunde
10) KöMaL (Mathematical and Physical Journal for Secondary schools)
11) S.I.A.M. Problems and Solutions page
12) Missouri State University's Problem Corner
13) Purdue's University problem of the week page
14) Math Problem of the Month, Bilkent University, Ankara, Turchia
15) http://www.operedidixe.gr2) MATHPROBLEMS
3) The Pentagon
4) School Science and Mathematics
5) The Fibonacci Quarterly
6) Pi Mu Epsilon journal
7) Gazette of the Australian Mathematical Society
8) Mathematical Excalibur
9) Nieuw Archief voor Wiskunde
10) KöMaL (Mathematical and Physical Journal for Secondary schools)
11) S.I.A.M. Problems and Solutions page
12) Missouri State University's Problem Corner
13) Purdue's University problem of the week page
14) Math Problem of the Month, Bilkent University, Ankara, Turchia
16) http://probability.univ.kiev.ua/index.php?page=journals
17) http://elib.mi.sanu.ac.rs/pages/main.php
18) http://ejde.math.txstate.edu/
19) http://www.emis.de/journals/
20) http://www.recreatiimatematice.ro
21) http://www.oei.es/oim/revistaoim/index.html
22) http://www.freewebs.com/revistaminus/zero.htm
23) http://gm.ssmalex.ro/news.php
24) http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... euclid.rmi
25) http://www.emis.de/journals/JIPAM/
26) http://www.arhimede.ro/RevisteConexe/conexe.html
27) http://rms.unibuc.ro/
28) http://www.ssmprahova.ro/reviste.htm
29) http://www.pims.math.ca/resources/publications/pi-sky
30) http://users.sch.gr/pazoulis/xanthopoul ... poulos.htm
31) http://ele-math.com/
_____________________________________________________
