Γεωμετρία

έργο του μαθηματικού και καλλιτέχνη G. Bulatov


Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ
 ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΑΠΕΤΗ
Πούλος Ανδρέας

Άρθρο που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό "Απολλώνιος",
έκδοση του Παραρτήματος Ημαθίας της Ε.Μ.Ε.,Νο 3, (2004).

Το χειρόγραφο αρχείο του Γιώργου Καπέτη μετά από ενέργειες δικές μου και την ευγενική προσφορά της χήρας του Γ. Καπέτη βρίσκεται σε ταξινομημένο στην βιβλιοθήκη του Π.Σ.Π.Θ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Αν και το τρίγωνο είναι το απλούστερο κλειστό πολυγωνικό σχήμα, ακόμα και στις μέρες μας σποραδικά ανακαλύπτονται νέες ιδιότητές του. Οι ιδιότητές του σχήματος αυτού παρ΄ ότι έχουν ερευνηθεί εξαντλητικά, είναι τόσο πολλές, συνεχώς αποκαλύπτουν μία πληθώρα μεταξύ τους σχέσεων ώστε να διαμορφώνουν έναν θησαυρό γνώσεων με μορφή θεωρημάτων, τον οποίο αποκαλούμε συνοπτικά Γεωμετρία του Τριγώνου. Αναφέρουμε χαρακτηριστικά ότι στο μεγάλο έργο «Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών Επιστημών», το οποίο συντάχθηκε υπό την εποπτεία του διάσημου Γερμανού μαθηματικού Felix Klein και ολοκληρώθηκε το 1914, το λήμμα «Γεωμετρία του Τριγώνου» είχε έκταση 104 σελίδες. Μετά όμως το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα η Γεωμετρία του Τριγώνου ήταν ένα θέμα το οποίο φαινομενικά έχει ολοκληρώσει τον κύκλο της ανάπτυξής του. Οι ερευνητές μαθηματικοί είχαν στρέψει το ενδιαφέρον τους σε άλλα πεδία γόνιμης μελέτης και συνεπώς η Γεωμετρία του Τριγώνου εθεωρείτο ήδη ένα σκονισμένο έκθεμα στο μουσείο των μαθηματικών ανακαλύψεων. Στη συνέχεια του κειμένου θα εξετάσουμε τι ακριβώς διαμορφώνει τη Γεωμετρία του Τριγώνου, ποια ήταν η ιστορική της πορεία και θα επιχειρήσουμε μία πρώτη σκιαγράφηση της θέσης της στην νεοελληνική μαθηματική  έρευνα και εκπαίδευση προβάλλοντας και τονίζοντας το έργο του θεσσαλονικιού μαθηματικού Γεωργίου Καπέτη [1].
Η ΒΑΣΙΚΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Οι Berkham και Meyer είχαν προτείνει τον εξής  ορισμό της Γεωμετρίας του Τριγώνου: «Είναι η μελέτη των ιδιαίτερων σημείων, ευθειών, κύκλων και κωνικών τομών ενός τριγώνου». Ένας άλλος ορισμός δόθηκε από τον Felix Klein που παρουσίασε στο περίφημο πρόγραμμα του Erlanger και είναι ο εξής: «Είναι η θεωρία των αναλλοίωτων των πέντε σημείων του τριγώνου υπό την επίδραση της ομάδας των προβολικών μετασχηματισμών».
Οι βάσεις της Γεωμετρίας του Τριγώνου τέθηκαν κατά την περίοδο ακμής του Ελληνικού πολιτισμού σε σύνδεση με την αντίληψη των Ελλήνων για τις γεωμετρικές κατασκευές. Οι Βυζαντινοί και οι Άραβες διατήρησαν όψεις αυτής της μεγάλης παράδοσης, η οποία μεταδόθηκε στη Δυτική Ευρώπη. Πολύ αργότερα τη θεωρία των γεωμετρικών κατασκευών επεξεργάστηκαν εκτός των άλλων ο Ολλανδός γεωμέτρης G. Mohr (1672) και ο Ιταλός μηχανικός L. Mascheroni (1797). Σημαντική για τη θεωρία των γεωμετρικών κατασκευών ήταν και η συμβολή του Ελβετού επιστήμονα J. Steiner (1833). Μόνο κατά το 19ο αιώνα εξακριβώθηκε ο κύκλος των προβλημάτων, τα οποία είναι επιλύσιμα με τη χρήση του κανόνα και διαβήτη. Οι γεωμετρικές κατασκευές στον τρισδιάστατο χώρο συνδέονται με τις μεθόδους της Παραστατικής Γεωμετρίας. Η θεωρία αυτού του τύπου κατασκευών παρουσιάζει ενδιαφέρον από την άποψη ότι σχετίζεται με πρακτικές εφαρμογές της Γεωμετρίας, αλλά παράλληλα σχετίζεται με τη Γεωμετρία του Τριγώνου.
Ακόμη και κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα νέα θεωρήματα ανακαλύφθηκαν σχετικά με τόσο απλά σχήματα, όπως είναι το τρίγωνο και ο κύκλος, σχήματα τα οποία ήταν αντικείμενο προσεκτικής μελέτης εκ μέρους των Ελλήνων μαθηματικών και των κατοπινών γεωμετρών. Ήταν ο L. Euler, ο οποίος το 1765 απέδειξε ότι το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο ενός τριγώνου είναι συνευθειακά και ανήκουν στη λεγόμενη «ευθεία του Euler». Ο H.C. Gossard του Πανεπιστήμιου της Οκλαχόμα το 1916 έδειξε ότι οι τρεις ευθείες Euler των τριγώνων που σχηματίζονται από την ευθεία Euler και τις πλευρές ενός τριγώνου θεωρούμενες ανά δύο, ορίζουν ένα τρίγωνο τριπλά προοπτικό με το αρχικό τρίγωνο και έχουν με αυτό την ίδια ευθεία Euler. Περίβλεπτη θέση μεταξύ των νέων ανακαλύψεων κατέχει ο «κύκλος των εννέα σημείων» ανακάλυψη η οποία κατά λάθος αποδίδεται στον Euler. Μεταξύ αυτών που τον πρωτοανακάλυψαν συγκαταλέγεται ο Άγγλος Benjamin Bevan (; - 1838), ο οποίος πρότεινε [2] ένα θεώρημα, η απόδειξη του οποίου πρακτικά οδηγεί στον κύκλο των εννέα σημείων. Η απόδειξη δόθηκε [3] από τον John Butterworth, ο οποίος πρότεινε ένα πρόβλημα το οποίο λύθηκε από τον ίδιο και τον John Whitley από όπου φαίνεται ότι αυτοί οι δύο γνώριζαν τις ιδιότητες του κύκλου των εννέα σημείων. Αυτά τα εννέα σημεία προσδιόρισαν επακριβώς και οι Γάλλοι μαθηματικοί C. J. Brianchon και J.V.Poncelet το 1821 στο διάσημο περιοδικό Annales, το οποίο εξέδιδε ο μαθηματικός Gergonne. Το 1822 ο Karl W. Feuerbach (1800-1834) καθηγητής στο Γυμνάσιο του Erlanger στη Γερμανία εξέδωσε ένα φυλλάδιο το οποίο με αφετηρία τον κύκλο των εννέα σημείων καταλήγει στην απόδειξη του θεωρήματος, που είναι σήμερα γνωστό με το όνομά του, δηλαδή ότι αυτός ο κύκλος εφάπτεται στον εγγεγραμμένο και στους τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους. Για το λόγο αυτό, οι Γερμανοί αποκαλούν τον κύκλο των εννέα σημείων «κύκλο του Φόϋερμπαχ». Ο τελευταίος που ανακάλυψε τον κύκλο αυτό ανεξάρτητα από τους άλλους είναι ο T.S Davis, ο οποίος παρουσίασε την ανακάλυψή του στο περιοδικό Philosophical Magazine το 1827. Το θεώρημα του Φόϋερμπαχ επεκτάθηκε από τον Andrew Seasle Hart (1811-1890) υφηγητή στο Trinity College του Δουβλίνου, ο οποίος έδειξε ότι οι κύκλοι που εφάπτονται με τους τρεις δεδομένους κύκλους μπορούν να κατανεμηθούν σε τετράδες με την ιδιότητα οι κύκλοι κάθε μιας από αυτές να εφάπτονται με τον ίδιο κύκλο.
Η μελέτη και η έρευνα νέων ευθειών και  νέων σημείων οδήγησε τον Γερμανό μαθηματικό Crelle στο συμπέρασμα: «Είναι πράγματι θαυμάσιο ότι ένα τόσο απλό σχήμα όπως το τρίγωνο έχει τόσες ανεξάντλητες ιδιότητες. Πόσες ακόμη ιδιότητες αυτών των σχημάτων υπάρχουν;». Σχετικές έρευνες έγιναν επίσης από τον Karl Jacobi (1795-1855) και τους μαθητές του. Όμως μετά το θάνατό του ξεχάστηκαν στο σύνολό τους. Το 1875 ο Henri Brocard (1845-1922) κέντρισε το ενδιαφέρον του μαθηματικού κοινού με το ίδιο θέμα και τις έρευνές του συνέχισαν ένας μεγάλος αριθμός ερευνητών στη Γαλλία, Αγγλία και Γερμανία. Ατυχώς τα ονόματα των γεωμετρών οι οποίοι ανακάλυψαν κάποια αξιόλογα σημεία, ευθείες και κύκλους δεν είναι τα ονόματα των ανθρώπων που μελέτησαν πρώτοι αυτές τις ιδιότητες. Έτσι, αναφερόμαστε στα «σημεία Brocard» και στις «γωνίες Brocard» αλλά η ιστορική έρευνα έδειξε ότι το 1884 και το 1886, τα σημεία και οι γωνίες αυτές αντίστοιχα μελετήθηκαν από τους A.L. Crelle και K.F. Jacobi. Μόνο οι κύκλοι του  Brocard είναι ανακάλυψη του ίδιου του Brocard. Το 1873 ο Γάλλος Emile Lemoine (1840-1912), ο εκδότης του περιοδικού «L΄ Intermediatere des mathematiciens», ανακάλυψε ένα ειδικό σημείο σε κάθε τρίγωνο το οποίο έχει διάφορες ονομασίες, όπως  «σημείο Lemoine», «συμμετροδιάμεσο σημείο» και «σημείο Grebe» από το όνομα του μαθηματικού Ernst Grebe (1804-1874).
Ανακαλύφθηκαν ακόμη οι «κύκλοι Mackay» από τον  Joseph Neuberg (1840-1926) από το Λουξεμβούργο. Μία συστηματική πραγματεία γι΄ αυτό το θέμα «το σημείο Brocard» γράφτηκε από τον Albercht Emerich στο Βερολίνο το 1891. Ένας πολύ μεγάλος αριθμός νέων θεωρημάτων για το τρίγωνο και τον κύκλο, δόθηκε στην «Πραγματεία περί Κύκλου και Σφαίρας», έκδοση Οξφόρδης το 1916 γραμμένη από τον J.L. Coolidge του Πανεπιστήμιου του Χάρβαρντ. Το 1888 ο E. Lemoine στο Παρίσι παρουσίασε ένα σύστημα, το οποίο ονόμασε γεωμετρογράφο, με σκοπό την απλοποιημένη αριθμητική σύγκριση γεωμετρικών κατασκευών. Ο Coolidge αποκάλεσε το σύστημα αυτό «το καλύτερο γνωστό και αυτό που απαιτεί τους λιγότερο πολύπλοκους ελέγχους για την απλοποίηση των γεωμετρικών κατασκευών». Ο A. Emch δήλωσε ότι «αυτό δύσκολα έχει κάποια πρακτική αξία και δεν μπορεί να μας δείξει πώς μπορεί να απλοποιηθεί μία κατασκευή και πώς μπορεί να γίνει σαφέστερη». Ένα νέο θεώρημα για το περιγεγραμμένο τετράεδρο διατυπώθηκε το 1897 από τον A.S. Bang και αποδείχθηκε από τον Johan Gehrke. Το θεώρημα αναφέρει τα εξής: «Οι απέναντι έδρες ενός περιγεγραμμένου τετράεδρου υποτείνουν ίσες γωνίες στα σημεία επαφής των εδρών που περιέχουν αυτές». Το θεώρημα αυτό απετέλεσε τη βάση για νέα αποτελέσματα από τους Franz Meyer, J. Neuberg και S. White. Ο Alasia υπό την παρότρυνση και καθοδήγηση του διάσημου Ιταλού Γεωμέτρη Eugenio Beltrami συγκέντρωσε σε έναν τόμο ένα σύνολο 566 μετρικών σχέσεων που αφορούσαν το τρίγωνο και τα ιδιαίτερα σημεία του.
Στις Η.Π.Α. η Γεωμετρία του Τριγώνου ήταν γνωστή με τον όρο «ανώτερη Γεωμετρία ή κολλεγιακή Γεωμετρία». Ακόμη και στις αρχές του 20ου αιώνα ορισμένοι διάσημοι μαθηματικοί παρότρυναν άλλους νεώτερους μαθηματικούς να μελετήσουν έως και σε επίπεδο διδακτορικής διατριβής θέματα της γεωμετρίας του Τριγώνου. Έτσι για παράδειγμα, ο Roger A. Johnson παρουσίασε το 1913 τη διατριβή του «Αναλυτική Πραγματεία των Κωνικών ως στοιχείων του τρισδιάστατου χώρου» υπό την εποπτεία του J. L. Coolidge. Ο  Johnson αργότερα εξέδωσε το πολύ γνωστό στις Η.Π.Α. βιβλίο «Σύγχρονη Γεωμετρία – Μία στοιχειώδης πραγματεία της Γεωμετρίας του Τριγώνου και του Κύκλου», ενώ αρθρογραφούσε από το 1916 έως το 1947 για σχετικά θέματα στο περιοδικό American Mathematical Monthly. Η παρακμή της Γεωμετρίας του Τριγώνου συνδέεται άμεσα και με τη διεύρυνση του αντικείμενου της Γεωμετρίας ως επιστήμης, με τη διεύρυνση των εννοιών, των μεθόδων της, με την ίδια την έννοια του σχήματος και των ιδιοτήτων του. Σύμφωνα με τον Philip Davis η παρακμή της συνδέεται και με την αυξημένη υπολογιστική ικανότητα των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των σχεδιαστικών προγραμμάτων, μέσω των οποίων μπορούν να γίνουν πολλές νέες ανακαλύψεις για τις ιδιότητες του Τριγώνου και γενικά των γεωμετρικών σχημάτων. Παρ΄ όλα αυτά νέες μελέτες συνεχίζουν να διεξάγονται χωρίς όμως να προξενούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών της πρώτης γραμμής, ενώ άλλες έρευνες μελετούν τις ήδη γνωστές ιδιότητες του τριγώνου με άλλα μαθηματικά εργαλεία. Για παράδειγμα ο C. Kimberling [4], ο οποίος μάλιστα διατηρεί πολύ καλή ιστοσελίδα στο Διαδίκτυο μελετά την Γεωμετρία του Τριγώνου υπό την οπτική γωνία των συναρτησιακών εξισώσεων.
Αν και ερευνητικά η Γεωμετρία του Τριγώνου θεωρείται ένα «εξαντλημένο ορυχείο», από την πλευρά της διδασκαλίας των σχολικών Μαθηματικών, αυτή παραμένει ένα εξαιρετικό υπόδειγμα εμβάθυνσης ενός ειδικού θέματος και παρέχει ένα πλήθος εκπληκτικών ανακαλύψεων και ιδεών χρήσιμων τόσο στην εκπαίδευση των μαθητών, όσο και στην επιλογή θεμάτων μαθηματικών διαγωνισμών.


Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ
Ποια είναι όμως η κατάσταση της έρευνας και της θέσης της Γεωμετρίας του Τριγώνου στα ελληνικά Μαθηματικά. Από το 1749 όταν εκδόθηκε η «Οδός Μαθηματικής» του Μεθόδιου Ανθρακίτη, το πρώτο νεοελληνικό έργο που αναφέρεται σε θέματα Γεωμετρίας, έως το 1950, η θεματογραφία των βιβλίων της Συνθετικής Γεωμετρίας περιορίζονταν αποκλειστικά στην παρουσίαση των Στοιχείων του Ευκλείδη, ή τις νεότερες εκδοχές της, τη Γεωμετρία του Λεζάντρ [5] κ.α. Από το 1950 έχουμε μία στροφή, τόσο στην έκδοση βιβλίων με εμπλουτισμένο υλικό από την Γεωμετρία του Τριγώνου, όσο και στην συγγραφή άρθρων και σχετικών φυλλαδίων. Η αιτία αυτού του φαινομένου είχε τις ρίζες μάλλον στο εξεταστικό σύστημα εισαγωγής των μελλοντικών φοιτητών στα Ανώτατα και Ανώτερα εκπαιδευτικά Ιδρύματα της χώρας. Όλοι οι γνωστοί Έλληνες μαθηματικοί, οι οποίοι είχαν αναλάβει το έργο της προγύμνασης των υποψηφίων για τα Α.Ε.Ι. είχαν συγγράψει διδακτικά εγχειρίδια στα οποία είχαν εντάξει πλήθος θεωρημάτων, προβλημάτων και δεδομένων σχετικών με τη Γεωμετρία του Τριγώνου. Κατά το χρονικό διάστημα 1950 – 1980, όσο δηλαδή διήρκεσε το σύστημα επιλογής φοιτητών ένα από τα κριτήρια του οποίου ήταν η ικανότητα των υποψηφίων στην επίλυση περίτεχνων γεωμετρικών ζητημάτων, έχουμε υπερεπάρκεια βιβλίων σχετικών με ζητήματα της Γεωμετρίας του Τριγώνου κυρίως για θέματα που κάλυπταν ζητήματα εξετάσεων. Αναφέρουμε ορισμένες βασικές εκδόσεις:
Ασκήσεις Γεωμετρίας των F.GM (Ιησουϊτών) σε μετάφραση Δ. Γκιόκα. Αθήνα. Εκδόσεις Καραβία, 1952.
Η μεθοδική λύση του Γεωμετρικού προβλήματος G. Lemaire, μετάφραση Γ. Ο. Βουδούρη, 2η έκδοση, Αθήναι, 1946.
Γεωμετρία του Χρήστου Μπαρμπαστάθη
Θεωρητική Γεωμετρία του Πέτρου Τόγκα, (με πολλές επανεκδόσεις), Αθήνα.
Η Γεωμετρία του υποψηφίου των Ανωτάτων Σχολών του Α. Κούρκουλου, Ηράκλειο, χ.χ.
Γεωμετρία, θεωρία και ασκήσεις. Γ.Τζίντσιφα κ.α. Θεσσαλονίκη, χ.χ.
Συμπλήρωμα Γεωμετρίας του Ν. Πνευματικού
Συμπλήρωμα Γεωμετρίας του Ν. Βαρουχάκη. Αθήνα. 1971.
Μαθήματα Γεωμετρίας του Ι. Ιωαννίδη
Ευκλείδειος Γεωμετρία του Σπύρου Κανέλλου. Ο.Ε.Δ.Β. Αθήναι. 1976.
Μέθοδοι επιλύσεως  γεωμετρικών προβλημάτων του Α. Δημητρίου, Αθήναι. 1971.
Γεωμετρία του Γ.Σ. Σταυριανίδη, Θεσσαλονίκη
Μεθοδική Γεωμετρία των Μ. και Π. Γεωργιακάκη. Αθήνα. 1975.
Γεωμετρία του Τριγώνου. Γεωμετρικαί κατασκευαί, του Ιωάννη Πανάκη.Τόμος Β΄. Αθήναι. Εκδόσεις Gutenberg. 1970
2500 προβλήματα γεωμετρικών τόπων και κατασκευών του Ιωάννη Πανάκη (2 τόμοι). Αθήναι. χ.χ.
Θεωρήματα και προβλήματα Γεωμετρίας, επιμέλεια Χ. Τσαρούχη, τόμος Ι, Αθήνα 1969, τόμος ΙΙ, Αθήνα 1970.
Με την αλλαγή του πνεύματος των εισαγωγικών εξετάσεων και τη βαθμιαία εγκατάλειψη της Γεωμετρίας ως εξεταστέας ύλης για την εισαγωγή στα Α.Ε.Ι., αυτή η εκδοτική έξαρση της Γεωμετρίας του Τριγώνου όχι μόνο δεν ξαναπαρατηρήθηκε, αλλά τα θέματα τα οποία αυτή πραγματεύεται αποτελούν σήμερα προβλήματα μόνο για μαθηματικούς διαγωνισμούς!! Εντελώς εκτός του εκδοτικού κλίματος εμφανίζεται το 1996 ο πρώτος τόμος του έργου με τίτλο «Γεωμετρία του Τριγώνου» του Γεωργίου Καπέτη από τις εκδόσεις Ζήτη της Θεσσαλονίκης και το 2002 εκδόθηκε ο δεύτερος τόμος του ίδιου έργου. Η δημοσίευση αυτής της προσπάθειας ήταν ένα εκδοτικό τόλμημα, διότι το αναγνωστικό μαθηματικό κοινό είχε στρέψει σε άλλα ζητήματα τα ενδιαφέροντά του. Ο ίδιος ο συγγραφέας δεν ήταν γνωστός στο μαθηματικό κοινό και είναι βέβαιο ότι δεν έγινε καμία προσπάθεια προβολής του έργου του από κανέναν. Παρ΄ όλα αυτά, όπως θα φανεί στη συνέχεια πρόκειται για την πληρέστερη έκδοση της Γεωμετρίας του Τριγώνου που διαθέτουμε στην ελληνική γλώσσα ακόμη και με τα αυστηρότερα διεθνή κριτήρια. Πριν αναφερθούμε στο ίδιο το έργο, θεωρούμε απαραίτητο να αναφερθούμε στον συγγραφέα του, ο οποίος δυστυχώς δεν βρίσκεται πλέον στη ζωή.
Ο Γεώργιος Καπέτης γεννήθηκε το 1932 στο Λιβάδι του Ολύμπου. Ενώ ήταν πολύ μικρός, η οικογένεια του μετακόμισε στην Κατερίνη, όπου ο πατέρας του εργάστηκε εκεί ως αρτεργάτης. Εξαιρετικός μαθητής αποφοιτώντας από το εξατάξιο Γυμνάσιο Κατερίνης είχε την φιλοδοξία να φοιτήσει στο Πολυτεχνείο Αθηνών, αλλά οι οικονομικές δυνατότητες της οικογένειάς του δεν επέτρεψαν την πραγματοποίησή της. Έδωσε εξετάσεις στο μαθηματικό Τμήμα του Α.Π.Θ. στο οποίο πέρασε εύκολα χωρίς να παρακολουθήσει φροντιστηριακά μαθήματα. Έλαβε το πτυχίο του μαθηματικού με «άριστα» και με την εκπλήρωση της στρατιωτικής του θητείας ως εφέδρου αξιωματικού του Πυροβολικού διορίστηκε το 1959 ως μαθηματικός στην Δημόσια Μέση εκπαίδευση. Δίδαξε σε διάφορα Γυμνάσια και Λύκεια της χώρας (Θεσσαλία, Αιτωλοακαρνανία, Πιερία, Σέρρες, Θεσσαλονίκη, Χαλκιδική). Το 1969 νυμφεύθηκε συνάδελφό του φυσικό με την οποία απόκτησε δύο κόρες, σήμερα πτυχιούχους Α.Ε.Ι. Συνταξιοδοτήθηκε ως Γυμνασιάρχης χωρίς να επιδιώξει την άνοδο στη διοικητική ιεραρχία της Εκπαίδευσης. Είχε αφιερώσει τον χρόνο του στη μελέτη και στην έρευνα σε θέματα Μαθηματικών. Αλληλογραφούσε με γαλλικές κυρίως βιβλιοθήκες από τις οποίες ελάμβανε άρθρα, περιοδικά και βιβλία για θέματα της Γεωμετρίας του Τριγώνου. Ορισμένα μάλιστα δυσεύρετα άρθρα και εργασίες ελάμβανε μέσω του γαλλικού ερευνητικού κέντρου CNRS. Με τη βοήθεια της συζύγου του μετέφραζε και στη συνέχεια επεξεργάζονταν το υλικό που είχε στη διάθεσή του, δίνοντας τις δικές του προεκτάσεις, γενικεύσεις και συνθέσεις. Συνεπώς το δίτομο έργο του «Γεωμετρία του Τριγώνου» είναι προϊόν μακρόχρονης ενασχόλησης με το αντικείμενο, είναι αποτέλεσμα δημιουργικής και συνθετικής επεξεργασίας ενός όγκου πληροφοριών σε σημείο που προκαλεί δέος για τον χρόνο που έχει απαιτηθεί για μία τέτοια προσπάθεια. Σύμφωνα με μαρτυρίες του οικογενειακού του περιβάλλοντος, ο Γ. Καπέτης δεν είχε μονομερή ενασχόληση με την Γεωμετρία, αλλά μελετούσε συστηματικά, Φιλοσοφία, Ιστορία και αρχαίους Έλληνες συγγραφείς. Όμως η υγεία του τα τελευταία χρόνια της ζωής του δεν ήταν τόσο καλή, ώστε να του επιτρέπει να εργάζεται πάνω στα ερευνητικά του ενδιαφέροντα όσο χρόνο αυτός ήθελε. Στις 15 Μαρτίου του 2003 η καρδιά του σταμάτησε να κτυπά [6].


Στη συνέχεια θα περιγράψουμε το έργο του Γ. Καπέτη «Η Γεωμετρία του Τριγώνου». Κύριο μέλημά μας είναι να γίνει κατανοητή η σημασία της προσπάθειάς του και η συνεισφορά του στη διεθνή έρευνα του συγκεκριμένου αντικειμένου. Για να γίνει όμως αυτό θεωρούμε απαραίτητο να παραθέσουμε ορισμένες επιπλέον πληροφορίες για τη διαδρομή της Γεωμετρίας του Τριγώνου και των σχέσεών της με τον επιστημονικό κλάδο της Γεωμετρίας.
Μετά την κλασσική Γεωμετρία των Ελλήνων γεωμετρών που ήταν η Γεωμετρία των συνθετικών μεθόδων και αποδείξεων ακολούθησε μετά το 1600 η Γεωμετρία των καρτεσιανών συντεταγμένων. Η ανάπτυξη της Γεωμετρίας αυτής παρ΄ ότι βοήθησε στην απόδειξη θεωρημάτων που ήταν δύσκολο να αποδειχθούν με την κλασσική Γεωμετρία, την έκανε λιγότερο ελκυστική και σε κάποιο βαθμό επέφερε έναν ερευνητικό κορεσμό. Συγκεκριμένα η χρησιμοποίηση ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων (των οποίων η επιλογή μπορεί να είναι αυθαίρετη) με τη βοήθεια των οποίων γίνεται ο υπολογισμός των διαφόρων στοιχείων ενός προβλήματος οδηγούσε βεβαίως στον εντοπισμό ενός γεωμετρικού τόπου και απαντούσε στο ερώτημα ποια είναι η μορφή του, αλλά αυτός ο υπολογισμός ήταν εντελώς ψυχρός και δεν αναδείκνυε συνήθως τη σχέση του γεωμετρικού τόπου με αξιοσημείωτα στοιχεία του αρχικού σχήματος.
Η αναθέρμανση του ενδιαφέροντος για τη Γεωμετρία συντελέστηκε με τη λεγόμενη ανάπτυξη της Γεωμετρίας του Τριγώνου. Θεωρούμε ότι υπάρχει μια γενικευμένη παρεξήγηση σχετικά με τη χρήση αυτού του όρου. Ο μη ειδήμων ακούγοντας τον όρο Γεωμετρία του Τριγώνου νομίζει ότι επειδή γνωρίζει τη γραμματική σημασία των λέξεων, κατανοεί και την μαθηματική σημασία αυτών. Έτσι καταλήγει στο συμπέρασμα ότι Γεωμετρία του Τριγώνου σημαίνει μια εξειδικευμένη και σε βάθος μελέτη του τριγώνου. Αυτή η όψη της όμως είναι δευτερεύουσα, επειδή αν κάποιος μελετήσει σε βάθος τη Γεωμετρία του Τριγώνου θα διαπιστώσει ότι οι νέες γνώσεις του τον μεταφέρουν σε ένα άλλο πολύ ανώτερο επίπεδο κατανόησης της Γεωμετρίας. Συγκεκριμένα  η Γεωμετρία αυτή που είναι αναλυτική έχει τη δυνατότητα να γίνεται συγχρόνως και συνθετική και ονομάζεται Γεωμετρία του Τριγώνου διότι δεν χρησιμοποιεί πλέον δύο καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο, αλλά τρεις καθαρά τριγωνικές συντεταγμένες. Οι συντεταγμένες αυτές είναι συγκεκριμένες και όχι αυθαίρετες. Κυρίως είναι οι λεγόμενες βαρυκεντρικές συντεταγμένες που είναι τα προσανατολισμένα εμβαδά του σημείου Ρ με τις τρεις πλευρές του τριγώνου αναφοράς. Αυτή η σύνδεση των συντεταγμένων κατά μοναδικό τρόπο με το τρίγωνο αναφοράς διευκολύνει ένα γεωμετρικό τόπο να είναι άμεσα αναγνωρίσιμος αν πρόκειται π.χ. για τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ή για την ευθεία του Euler ή την υπερβολή του Jerabek ή δίνει σχεδόν άμεση απάντηση στο ερώτημα αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία του Euler ή πάνω στην ευθεία του βαρυκέντρου και του έκκεντρου του τριγώνου. Αυτή η Γεωμετρία συνδυάζει την ομορφιά της Συνθετικής και τη δύναμη της Αναλυτικής και για αυτόν τον λόγο θεωρούμε ότι όσα χρόνια και αν περάσουν είναι σε θέση να παράγει νέα ευρήματα. Αυτή τη Γεωμετρία ο πρώτος που την έκανε γνωστή στην Ελλάδα είναι ο Γεώργιος Καπέτης.

Αντιγράφουμε ένα σύντομο απόσπασμα από τον πρόλογο του ίδιου του συγγραφέα, στον οποίο περιγράφεται σύντομα, αλλά σαφέστατα ο σκοπός του έργου: «Ο σκοπός του γράφοντος είναι αφ΄ ενός να παρουσιάσει μία κατά το δυνατόν συγκροτημένη εικόνα της Γεωμετρίας του Τριγώνου με βάση αυτά που έχει υπ΄ όψη του, απ΄ όσα μέχρι τώρα εγράφησαν, προσθέτοντας και δικά του στοιχεία, αφ΄ ετέρου χρησιμοποιώντας τα διάφορα συστήματα συντεταγμένων και με νέες προτάσεις (ή στοιχεία) να συντελέσει στην ανάπτυξη του κλάδου αυτού της Γεωμετρίας που έφθασε ως τα μέσα σχεδόν του 20ου αιώνα».
Πράγματι, χωρίς να γίνεται κάποιου είδους κριτική εκ μέρους του Καπέτη σε παλαιότερες ελληνικές εκδόσεις Γεωμετρίας του Τριγώνου, το αδύνατο σημείο τους ήταν η έλλειψη συγκροτημένης εικόνας του μαθηματικού αυτού κλάδου, ίσως επειδή εκδόθηκαν υπό την πίεση του χρόνου και σε άλλες συνθήκες, με σκοπό να καλύψουν ή να εξαντλήσουν θέματα εισαγωγικών εξετάσεων κλπ.
Ένα μέρος του πρώτου τόμου[7] αποτελεί – και δεν μπορούσε να γίνει αλλιώς – θέματα που συναντώνται σε κάθε βιβλίο της Γεωμετρίας του Τριγώνου, δηλαδή περιέχει τις βασικές προτάσεις, επεκτείνεται στα θεωρήματα του Μενελάου, των Ceva και Descartes στις γενικεύσεις και στα αντίστροφα αυτών των θεωρημάτων. Περιγράφονται και μελετώνται οι ιδιότητες των βασικών σημείων, ευθειών και κύκλων του Τριγώνου, η ευθεία Simson, η ευθεία Steiner, τα σημεία του Nagel, τα σημεία Gergonne, οι κύκλοι Feuerbach. Ακολουθεί ένας πληρέστατος κατάλογος των μετρικών σχέσεων του Τριγώνου[8]. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι ισογώνιες ευθείες, τα ισογώνια σημεία και οι συμμετροδιάμεσοι του Τριγώνου. Ουσιαστικά ο Γ. Καπέτης προβάλλει και αναδεικνύει το έργου του Emile Lemoine. Μελετώνται οι κύκλοι του Απολλώνιου και του Brocard. Στη συνέχεια παρουσιάζεται με δεξιοτεχνία ένα πολύ δύσκολο εγχείρημα, η μελέτη της Γεωμετρίας του Τριγώνου με τη βοήθεια των συντεταγμένων. Συγκεκριμένα μελετά τις ιδιότητες του Τριγώνου με τη βοήθεια των λογοσυντεταγμένων[9], των βαρυκεντρικών συντεταγμένων[10], των καθετικών[11] και άλλων συστημάτων συντεταγμένων. Μελετά και βρίσκει τους τύπους μετατροπής των σχέσεων από το ένα είδος συντεταγμένων σε άλλο είδος. Εισάγει και άλλα είδη συντεταγμένων όπως τις γωνιακές, τις γωνιοποδικές, τις τριπολικές κλπ. Μελετά τις κωνικές τομές με τη βοήθεια των τριγωνικών συντεταγμένων, ενώ γίνεται εκτενής μελέτη των τριγωνικών μετασχηματισμών. Αναπτύσσει την έννοια της αντιστροφής σε σημεία, τρίγωνα και κύκλους. Το τελευταίο μέρος του Α΄ τόμου συμπληρώνεται από ορισμένες προβολικές ιδιότητες των ευθειών, των γωνιών, των σημείων κλπ, ενώ εξαιρετικά χρήσιμοι είναι για τον μελετητή οι πίνακες με τα χαρακτηριστικά σημεία, τις ευθείες, τους κύκλους ενός τριγώνου και τις εκφράσεις των αντίστοιχων βαρυκεντρικών τους συντεταγμένων.
Στον δεύτερο τόμο του έργου αναπτύσσεται διεξοδικά ο μετασχηματισμός του Lemoine[12] και προβάλλονται εφαρμογές του για την παραγωγή νέων σχέσεων στα τρίγωνα, όπως σε θέματα εμβαδών, ενώ πραγματοποιούνται γενικεύσεις μετρικών σχέσεων που είχαν περιληφθεί στον Α΄ τόμο. Στον δεύτερο επίσης τόμο μελετώνται κύκλοι οι οποίοι σχετίζονται με το Τρίγωνο, η δύναμη σημείου ως προς κύκλο, κύκλοι που παράγονται από άλλους κύκλους του Τριγώνου και δέσμες κύκλων[13]. Στη συνέχεια εξετάζεται η παράλληλη προβολή και οι μετασχηματισμοί κωνικών τομών υπό την επίδραση της παράλληλης προβολής. Μελετώνται επίσης οι εφαπτόμενες κωνικές και οι περιγραμμένες κωνικές των σχημάτων που σχετίζονται με το Τρίγωνο.
ΕΠΙΛΟΓΟΣ: Το έργο του Γ. Καπέτη τα τελευταία χρόνια είχε εκτιμηθεί πλήρως από τη διεθνή κοινότητα των ερευνητών της Γεωμετρίας του Τριγώνου. Το διεθνές ηλεκτρονικό περιοδικό Forum Geometricorum[14] τον περιλάμβανε στον κατάλογο των advisors, θέση εξόχως τιμητική και ταυτόχρονα ενδεικτική της θετικής αξιολόγησης του έργου του. Αλλά και οι μελετητές – ερευνητές είχαν πολύ εκτιμήσει πολύ το έργο του. Για παράδειγμα ο Steve Sigur καθηγητής του Πανεπιστημίου της Ατλάντα των ΗΠΑ αναφέρει «διαβάζω το βιβλίο του Γ. Καπέτη με μεγάλο ενθουσιασμό … έχω μάθει πάρα πολλά από αυτό το βιβλίο … χρησιμοποιεί νέες – τουλάχιστον σε εμένα υπολογιστικές τεχνικές»[15]. Ο ίδιος αναφέρει «αγαπητοί φίλοι, ασχολούμαι με μια νέα τεχνική και με ένα νέο θεώρημα που ανακάλυψα στο πάρα πολύ σπουδαίο βιβλίο του Καπέτη για τη Γεωμετρία του Τριγώνου». Επίσης ο Γάλλος Bernard Gilbert γράφει: « αυτή η έλλειψη αναφέρεται από τον Καπέτη, δείχνοντας μια ωραία μέθοδο κατασκευής των αξόνων της κωνικής ..»[16]. Θεωρούμε ότι το έργο του είναι ένα ανεξάντλητο ορυχείο, η έρευνα του οποίου  - λόγω των ιδεών και μεθόδων που περιέχει - θα αποδώσει νέες ανακαλύψεις. Αυτές θα είναι και τα ουσιαστικά πιστοποιητικά της μεγάλης αξίας του Γ. Καπέτη και τα ισχυρά κίνητρα για προώθηση της μαθηματικής έρευνας.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:
Ένα ενδιαφέρον άρθρο για τη Γεωμετρία του Τριγώνου είναι του Philip Davis συγγραφέα του βιβλίου «Η μαθηματική εμπειρία», το οποίο εκδόθηκε και στα ελληνικά. Πρόκειται για το έργο: Davis Philip. The Rise, Fall, and Possible Transfiguration of Triangle Geometry: A Mini-history. Δημοσιεύτηκε στο περιοδικό American Mathematical Monthly. Μάρτιος 1995, σελίδες 204-214.
Σημαντικό για την παρουσίαση της γενικής ανάπτυξης της Γεωμετρίας θεωρείται το λήμμα του ρώσου Ακαδημαϊκού Αλεξάντρ Ντ. Αλεξαντρόφ στη Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια με τίτλο «Γεωμετρία», ελληνική έκδοση τόμος 7ος, σελίδες 146-154.
Κλασικό θεωρείται το κείμενο για τη Συνθετική Γεωμετρία στο βιβλίο Cajori Florian: A History of Mathematics. Chelsea Pub. N.Y.  πρώτη έκδοση 1893 με πολλές ανατυπώσεις και τρίτη έκδοση το 1980. Σε αυτό υπάρχει το άρθρο με τίτλο «Στοιχειώδης Γεωμετρία του Τριγώνου και του Κύκλου».
Berkhan G. & Meyer W. (1913-1931): Neuere Dreiecksgeometrie Encyclopedia der Mathematischen Wissenschaften. Leipzing. Teubner. Πρόκειται για πολύτομο έργο.
Johnson R.A. (1929): Modern Geometry – An Elementary Treatise on the Geometry of Triangle and the Circle. Houghton, Mifflin.
Johnson R.A. (1960): Advanced Euclidean Geometry. N.Y. Dover.
Lalesco  T. (1952): La geometrie du triangle. Ed. J. Gabay.
Καπέτης Γεώργιος (1996):Γεωμετρία του Τριγώνου. Τόμος Α. Θεσσαλονίκη. Εκδόσεις Ζήτη.
Καπέτης Γεώργιος (2002): Γεωμετρία του Τριγώνου. Τόμος Β. Θεσσαλονίκη. Εκδόσεις Ζήτη.


[1] Ευχαριστώ θερμά το φίλο και συνάδελφο Νίκο Δεργιαδέ, επειδή έκανε παρεμβάσεις και συμπληρώσεις στο αρχικό κείμενο, οι οποίες θεωρώ ότι το βελτίωσαν σημαντικά.
[2] Στο περιοδικό Mathematical Repository (Θησαυρός Μαθηματικών γνώσεων), (τεύχος 1, 18 του 1804).
[3] Στο ίδιο περιοδικό.
[4] C. Kimberling. Encyclopedia of  Triangle. http://faculty.evansille.edu.
[5] Εκδόσεις της Γεωμετρίας του Λεζάντρ έχουμε από την πρώτη έκδοση του 1829 στην Κέρκυρα σε μετάφραση και επιμέλεια Ιωάννη Καρανδινού, έως και την δεκαετία του 1870.
[6] Θέλω να ευχαριστήσω την οικογένεια του Γ. Καπέτη για την παροχή βασικών πληροφοριών σχετικών με τη ζωή και το έργο του.
[7] Έως και την σελίδα 71.
[8] Σελίδες 34 έως 47.
[9] Πρόκειται για τριάδες αριθμών κ, λ, μ με κ×λ×μ = 1, οι οποίοι εκφράζουν το λόγο της εσωτερικής διαίρεσης των αντίστοιχων πλευρών ενός τριγώνου από σημεία.
[10] Πρόκειται για τριάδες αριθμών κ, λ μ με κ + λ + μ = Ε, όπου Ε το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, οι οποίοι εκφράζουν τη σχέση των εμβαδών ΣΑΒ, ΣΑΓ, ΣΒΓ με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ για τυχαίο σημείο Σ.
[11] Πρόκειται για τριάδες αριθμών κ λ, μ για τις οποίες ισχύει α×κ + β×λ + γ×μ = Ε, όπου Ε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Οι αριθμοί κ, λ, μ εκφράζουν τις αποστάσεις ενός σημείου Σ από τις πλευρές α, β, γ αντίστοιχα του τριγώνου.
[12] Αυτός παρουσιάζεται στις σελίδες 5 έως και 95.
[13] Τα θέματα καλύπτουν τις σελίδες 97 έως 179.
[14] Η ηλεκτρονική διεύθυνσή του είναι:http//forumgeom.fau.edu
Ας σημειωθεί ότι στους κριτές του περιοδικού συγκαταλέγονται ο Ανδρέας Χατζηπολάκης από την Αθήνα και ο Μιχάλης Λάμπρου καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Ηρακλείου Κρήτης. Σημαντικές έρευνες έχει δημοσιεύσει ο μαθηματικός Νίκος Δεργιαδές από τη Θεσσαλονίκη.
[15] Γράμματά του στο περιοδικό Forum Geometricorum στις 11 και 14 Αυγούστου 2003.
[16] Γράμμα του στο ίδιο περιοδικό την 11 Αυγούστου 2003.

_________________________________



έργο του μαθηματικού και καλλιτέχνη G. Bulatov

______________________________

20  ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ  ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΕΠΙΠΕΔΟΥ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ  ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ

Πολλαπλές προσεγγίσεις, σχόλια, υποδείξεις και γενικεύσεις

Ανδρέας Πούλος


       Τα παρακάτω προβλήματα προέρχονται από το βιβλίο των Ν. Βασίλιεφ και Α. Γιεγκόροφ «Πανενωσιακές Μαθηματικές Ολυμπιάδες της ΕΣΣΔ, 1961-1991», τόμος 1ος, στην ελληνική τους έκδοση από τον εκδοτικό οίκο Κάτοπτρο, Αθήνα, 1997. Τα προβλήματα αυτά επιλέχθηκαν με κριτήριο να μην είναι υπερβολικά δύσκολα, ενώ ταυτόχρονα να περιέχουν ευφυείς ιδέες και τεχνι-κές που να βοηθούν στην επίλυση και άλλων διαγωνιστικών προβλημάτων. Εκτός από τις λύσεις που προτείνονται από τους συγγραφείς, επιχειρούνται όσο είναι δυνατόν και άλλες προσεγγίσεις, συγκρίσεις και σχολιασμός σε σχέση με άλλα γεωμετρικά προβλήματα που έχουν τεθεί σε διαγωνισμούς. Θεωρήσαμε χρήσιμο να προστεθεί επιπλέον πληροφοριακό υλικό σχετικό με τα προβλήματα αυτά, όπως θεωρήματα, λήμματα, βιβλιογραφικές παραπομπές και αναφορές. Τα προ-βλήματα Γεωμετρίας και γενικά όλα τα θέματα που προτείνονται για μαθηματικούς διαγωνισμούς στην πρώην ΕΣΣΔ και στη σημερινή Ρωσία, διακρίνονται για ένα επίπεδο πρωτοτυπίας, απλότητας, κομψότητας και αντανακλούν μία υψηλού επιπέδου μαθηματική κουλτούρα και παράδοση.
Η σειρά που ακολουθούμε στην παρουσίαση και πραγμάτευση των προβλημάτων είναι η εξής:

  1. Εκφωνήσεις των προβλημάτων και υποδείξεις.
  2. Η βασική λύση και το αρχικό σχήμα.
  3. Άλλες λύσεις και προσεγγίσεις.
  4. Σχετικά θεωρήματα και παρεμφερή προβλήματα.
  5. Γενικεύσεις, νέα ζητούμενα και ερωτήματα.

        Το κάθε πρόβλημα πραγματεύεται και στις 5 ενότητες.
     Στην 1η ενότητα ως εκφώνηση, αφού ουσιαστικά πρόκειται για έναν κατάλογο προβλημάτων. Για ορισμένα από τα προβλήματα όμως δίνονται και υποδείξεις. Αυτές σχετίζονται με το πλήθος των περιπτώσεων που πρέπει να ελέγξει ο λύτης, με το είδος των πιθανών προσεγγίσεων, για παρά-δειγμα με τη χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας, διανυσμάτων, γεωμετρικών μετασχηματισμών κλπ. 
     Στην 2η ενότητα δίνεται η βασική λύση που προτείνεται από τους συγγραφείς με ελάχιστες τροποποιήσεις, που δεν σχετίζονται με την ουσία της λύσης, ακολουθούμενη από το αντίστοιχο σχήμα.
     Στην 3η ενότητα αποτυπώνεται μία προσωπική διδακτική παρέμβαση. Ο άμεσος στόχος είναι να δοθεί μία όσο γίνεται πληρέστερη πραγμάτευση των συγκεκριμένων προβλημάτων, τα οποία αποτελούν μία αφορμή για ενασχόληση σε βάθος με τα διαγωνιστικά προβλήματα. Ελπίζουμε ότι με τις υποδείξεις συναδέλφων, μαθητών και άλλων ενδιαφερόμενων σύντομα το κείμενο θα αυξηθεί ποσοτικά και θα  βελτιωθεί ποιοτικά.
     Στην 4η ενότητα φροντίσαμε τα θεωρήματα που αναφέρονται να είναι εντελώς σχετικά με τα προβλήματα που πραγματεύονται, ενώ με τον τίτλο «παρεμφερή προβλήματα» περιλαμβάνουμε υλικό από μαθηματικούς διαγωνισμούς και δημοσιεύσεις σε βιβλία και περιοδικά που σχετίζονται με αυτά τα 20 προβλήματα.
    Η 5η και τελευταία ενότητα θεωρούμε ότι είναι η πλέον αμφιλεγόμενη, επειδή πιθανώς να περιέχει γενικεύσεις πολύ πιο δύσκολες από τα συγκεκριμένα προβλήματα, γενικεύσεις που να απαιτούν νέα πιο σύνθετα εργαλεία, θεωρήματα και τεχνικές για να επιλυθούν. Φροντίσαμε ώστε να κρατηθούν ισορροπίες για να μην αποκλίνουμε από τους σκοπούς της εργασίας.

  
ΟΙ  ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ  ΤΩΝ  ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

  1. Θεωρούμε τέσσερεις κύκλους με ακτίνες ρ1, ρ2, ρ3 και ρ4, τα κέντρα των οποίων είναι οι τέσσερεις κορυφές ενός ορθογωνίου και ισχύει ρ1 + ρ3 = ρ2 + ρ4  < d, όπου  d είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου. Φέρουμε δύο ζεύγη εξωτερικών εφαπτομένων των κύκλων ρ1, ρ3 και ρ2, ρ4 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που σχηματίστηκε από αυτές τις τέσσερεις ευθείες είναι περιγράψιμο σε κύκλο. (1η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1961).

  1. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα σημεία Α΄, Β΄, Γ΄, Δ΄, για τα οποία ισχύουν: ΒΒ΄= ΑΒ, ΓΓ΄= ΒΓ, ΔΔ΄= ΓΔ΄ και ΑΑ΄= ΔΑ΄. Να αποδείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι πενταπλάσιο από το εμβαδόν του ΑΒΓΔ. (2η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1962).

  1. Από το μέσο Μ της βάσης ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε την κάθετο ΜΗ στην πλευρά ΒΓ. Το σημείο Ρ είναι το μέσο του τμήματος ΜΗ. Να αποδείξετε ότι το ΑΗ είναι κάθετο στο ΒΡ. (2η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1962).

  1. α) Κάθε μία από τις διαγώνιες ενός κυρτού τετραπλεύρου το διαιρεί σε δύο ισεμβαδικά σχήματα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. β) Δίνεται κυρτό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Αν κάθε μία από τις διαγώνιες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ το διαιρεί σε  δύο ισεμβαδικά σχήματα, να αποδείξετε ότι οι τρεις αυτές διαγώνιοι έχουν ένα κοινό σημείο. (3η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1963).

  1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 1. Ένα τμήμα μήκους δ ολισθαίνει με τα άκρα του πάνω στις πλευρές του τριγώνου. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του δ, ώστε το τμήμα αυτό ολισθαίνοντας να σαρώνει ολόκληρο το τρίγωνο; (3η Πανρωσική Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1963).

  1. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών Α και Β. Κατόπιν φέρουμε από την κορυφή Γ ευθείες παράλληλες προς τις δύο διχοτόμους. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα σημεία τομής των ευθειών αυτών με τις διχοτόμους. Αν ΔΕ // ΑΒ, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (3η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1963).

  1. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος μη αλληλοκαλυπτόμενων τετραέδρων με τα οποία είναι δυνατόν να χωριστεί ένας κύβος; (4η Πανρωσική Ολυμπιάδα, 1964).

  1. α) Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος ΑΗ, που είναι το μεγαλύτερο από τα ύψη του τριγώνου, είναι ίσο με τη διάμεσο ΒΜ. Να αποδείξετε ότι η γωνία ΑΒΓ δεν είναι μεγαλύτερη από 60ο.
β) Αν το ύψος ΑΗ ενός οξυγωνίου τριγώνου είναι ίσο με τη διάμεσο ΒΜ και με τη διχοτόμο ΓΔ, να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (1η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1967).

  1. Οι διάμεσοι χωρίζουν ένα τρίγωνο ΑΒΓ σε έξι τρίγωνα. Διαπιστώθηκε ότι οι τέσσερεις από τους εγγεγραμμένους κύκλους σε αυτά τα τρίγωνα είναι ίσοι. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (2η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1968).

  1. Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε τρίγωνο ΑΒΓ εφάπτεται στην πλευρά ΑΓ στο σημείο Κ. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει το μέσον της πλευράς ΑΓ με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, διχοτομεί το τμήμα ΒΚ. (2η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1968).

  1. Δίνεται κύκλος, μία διάμετρός του ΑΒ και ένα σημείο Γ πάνω στη διάμετρο ΑΒ. Να κατασκευάσετε στον κύκλο δύο σημεία Χ και Υ, συμμετρικά ως προς τη διάμετρο ΑΒ, τέτοια ώστε η ευθεία ΥΓ να είναι κάθετη στην ευθεία ΧΑ. (4η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1970).

  1. Πόσες πλευρές μπορούν να έχουν μήκος ίσο με το μήκος της μέγιστης διαγωνίου ενός κυρτού πολυγώνου; (4η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1970).

  1. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Αποδείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία τομής των διαμέσων των τριγώνων ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι κάθετη στην ευθεία, η οποία διέρχεται από τα σημεία τομής των υψών των τριγώνων ΒΟΓ και ΑΟΔ. (6η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1972).

  1. Το σημείο Ο, που βρίσκεται στο εσωτερικό ενός κυρτού πολυγώνου, σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο με οποιεσδήποτε δύο κορυφές του. Αποδείξτε ότι το σημείο αυτό ισαπέχει από τις κορυφές του πολυγώνου. (6η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1972).

  1. Δίνεται γωνία με κορυφή Ο και κύκλος που εφάπτεται των πλευρών της γωνίας στα σημεία Α και Β. Από το σημείο Α φέρουμε ημιευθεία παράλληλη προς την ΟΒ, η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο Γ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε, ενώ οι ευθείες ΑΕ και ΟΒ τέμνονται στο σημείο Κ. Αποδείξτε ότι ΟΚ = ΚΒ. (7η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1973).

  1. Δίνεται ένα κυρτό ν-γωνο με παράλληλες κατά ζεύγη τις πλευρές του και ένα σημείο στο εσωτερικό του. Αποδείξτε ότι δεν είναι δυνατόν να φέρουμε από το σημείο αυτό περισσότερες από ν ευθείες, καθεμία από τις οποίες να διχοτομεί το εμβαδόν του ν-γώνου. (7η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1973).

  1. Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ. Τα σημεία Ρ και Κ ανήκουν στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΒΡ = ΒΚ. Έστω Η το ίχνος της καθέτου, που άγεται από το σημείο Β προς την ΡΓ. Αποδείξετε ότι η γωνία ΔΗΚ είναι ορθή. (8η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1975).

  1. Τρεις μύγες κινούνται πάνω στις πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ, έτσι ώστε το κέντρο βάρους του τριγώνου που σχηματίζουν να μένει στην ίδια θέση. Αποδείξτε ότι αυτό συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. (Κέντρο βάρους είναι το σημείο τομής των διαμέσων του.) (9η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1976).

  1. Έστω δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα. Οι κορυφές του μικρότερου τριγώνου βρίσκονται πάνω στις τρεις πλευρές του μεγαλύτερου τριγώνου (κάθε κορυφή σε διαφορετική πλευρά). Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του λόγου των εμβαδών αυτών των τριγώνων. (13η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1979).

  1. Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ διαιρείται από τις διαγώνιές του σε τέσσερα τρίγωνα. Αν οι ακτίνες των τεσσάρων εγγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα αυτά είναι ίσες μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. (13η Πανενωσιακή Ολυμπιάδα ΕΣΣΔ, 1979).
_________________________________________________________



Maurits Escher (1898-1972)
ένας μεγάλος διανοούμενος που μετουσιώσε τα Μαθηματικά σε Τέχνη
(το κείμενο είναι υπό διαμόρφωση)

δείτε ένα βίντεο για το έργο του Μ. Έσσερ.

___________________________________________________________________
Εργασία με θέμα "Με αφορμή ένα Πρόβλημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας"
την οποία έχω αναρτήσει στην ιστοσελίδα του Φόρουμ Mathematica
___________________________________________________________________
Μία εργασία μου με θέμα το τρίγωνο του Releaux και τις εφαρμογές του στην Τεχνολογία

https://docs.google.com/file/d/0B1CxOzLbCSlyZnFnckNBRFBDUzQ/preview

________________________________________________________________________